数论--欧拉函数的整理（悔惜晟）

相关题目： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824 pku 2478(与前n个数互质的个数的求和) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3508 素因子的积 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2710 题目很简单，就是输出N个数素数因子最大的那一个 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3307 (欧拉 + 推导公式 + gcd) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1299 （求因子个数） http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2480 欧拉求所有因子的和 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2407 很水的欧拉 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1787 典型 欧拉函数 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3501 欧拉函数求小于N且与N不互质的正整数之和 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数 ，且n,a互素，(a,n) = 1，则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 　　欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 　　特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。 欧拉性质： phi(n) >= sqrt(n / 2) n > 0 n > 6 phi(n) >= sqrt(n) n 为合数 phi（n） <= n - sqrt(n) 推论一：欧拉函数ψ（Ｎ）的值为偶数。 推论二：对于任意素数ｐ有ψ（ｐ）＝ｐ－１ 推论三：设Ｎ为质数Ｐ的平方，即Ｎ＝Ｐ×Ｐ，则ψ（Ｎ）＝（Ｐ－１）×Ｐ。 推论四：设Ｎ为质数ｐ的ｎ次方（ｎ≥２）则ψ（Ｎ）＝Ｎ×（１－１/ｐ） 推论五：设Ｎ为两个不同质数ｐ，ｑ之积，Ｎ＝ｐ ×ｑ，则ψ（Ｎ）＝（ｐ－１）×（ｑ－１）。 推论六：对一切正整数n，有φ(p^n)=[p^(n-1)]*(p-1) 欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数). 因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式: k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式) 可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1)) =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi); =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk) ps：在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a; 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系： 假设素数p能整除n，那么 如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p; 如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1); 得数学结论：一个整数的所有因子数等于其每个素因子的个数加一之后的乘积(1+p1)(1+p2)…(1+pn) 因子和: 若 k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai) ，其中p1、p2、...、pn分别为该整数的所有n个素因子P1、P2、...Pn的相应个数。 思想：得到一个整数所有素因子。由素因子的组合构造其所有的因子。 一个整数的素因子还有一个特点，就是超过其平方根值的素因子最多只有一个 结合率 ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p ((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p 交换率 (a + b) mod p = (b+a) mod p (a × b) mod p = (b × a) mod p 分配率 ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p 定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p (拉格朗日四平方和定理) 每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在 一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数 之和。 char mark[10000] = {0}; int prime[1230]; int size = 0; int phi[10000]; int main () { int i, j; /*筛法求素数*/ for (i = 2; i < 10000; i++) { if (!mark[i]) prime[size++] = i; for (j = 0; j < size && prime[j] * i < 10000; j++) { mark[prime[j] * i] = 1; if (i % prime[j] == 0) break; } } /*求欧拉函数*/ phi[1] = 1; for (i = 2; i < 10000; i++) { if (!mark[i]) { phi[i] = i - 1; continue; } for (j = 0; j < size && prime[j] * prime[j] <= i; j++) { if (i % prime[j] == 0) { if (i / prime[j] % prime[j] == 0) phi[i] = prime[j] * phi[i / prime[j]]; else phi[i] = (prime[j] - 1) * phi[i / prime[j]]; break; } } } return 0; } 从别人那里学到的对求欧拉函数部分的优化，使每个数的欧拉函数只由它的最小素因子求出: phi[1] = 1; for (i = 1; i < 10000; i++) { for (j = 0; j < size && prime[j] * i <= 10000; j++) { if (i % prime[j] == 0) { phi[prime[j] * i] = prime[j] * phi[i]; break; } else { phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } ｝ 在实际代码过程可以和搜索质数的"筛子法"相结合, 因为"筛子法"相当于优先找到了每个数的最小质 因子. const int size = 1000001; int factor[size]; //factor[n]记录了n的最小质因子 bool visited[size]; int phy[size]; //phy[n]记录了与n互质且小于n的个数. void getPrime() { memset(factor, -1, sizeof(factor)); memset(visited, false, sizeof(visited)); for (int i=2; i