基于惩罚的边界交点(PBI)

1.PBI

PBI的这种方法是正规边界交点法的一个变体。定义为下：

d1，d2关系如下图：

其中F(x)-Z*是d3的距离，d1是d3的投影。F(x)在w上的投影是P，d2是投影距离（体现多样性，靠近w的点也可以作为选取点， θ相当于惩罚）。d1被用来评价x对EF的收敛性，d2是一种衡量种群多样性的方法。通过将d2的值乘以θ和d1，从而让gpbi(x=w，z∗)对x做一种综合测度，兼具收敛性和多样性。在D1和D2之间由参数θ控制，而PBI方法的目标是将F(X)推到尽可能低的地方，使其达到边界。

接下来给出不同θ和W设置下的PBI函数轮廓图。

当θ=1时，角度α=45°，为什么是45度，因为对于等高线0.7是pbi值，而θ=1，pbi=d1+d2，d1=b=0.25√2，d2=a=0.25√2，tanα=θ*d2/d1，所以d2/d1=1=tan45°。注意0.7是pbi值，不是f1，f2的目标函数所计算的值。