王侦
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优先队列——堆

0.目录

  • 1.优先队列ADT
  • 2.几种实现
  • 3.二叉堆
  • 4.d-堆
  • 5.左式堆
  • 6.斜堆
  • 7.二项队列
  • 8.斐波那契堆
  • 9.van Emde Boas树
  • 10.配对堆（Pairing heap）

1.优先队列ADT

优先队列是允许至少下列两种操作的数据结构：
1）Insert
2）DeleteMin 找出、返回和删除优先队列中最小的元素


2.几种实现

1）使用链表
可以使用一个简单链表，在表头以O(1)执行插入操作，并遍历该链表以删除最小元，需要O(N时间)。
始终让表保持有序状态，这使得插入代价O(N)，而DeleteMin为O(1)

2）使用查找树
两种操作的平均时间都是O(lgN)
但是查找树支持许多并不需要的操作。

3）使用二叉堆
不需要使用指针，以最坏情形O(lgN)支持上述两种操作。

3.二叉堆

3.1 结构性质

二叉堆是一个数组，可以被看成一个近似的完全二叉树。树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的。而且是从左向右填充。

数组A的两个属性：
A.length给出数组元素的个数
A.heap-size表示有多少堆元素存储在该数组中
因此，A[1..A.length]可能都存有数据，但只有A[1..A.heap-size]中存放的是堆的有效元素。 0<=A.heap-size<=A.length


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3.2 堆序性质

对于最大堆而言：最大元应该在根上，并且任意子树也应该是一个最大堆。
也即，除了根以外的所有节点i都要满足：


1）在高度为h的堆中，元素个数最多和最少分别是多少？


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2）证明：含n个元素的堆的高度为floor(lgn)。（向下取整）


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3）一个已排好序的数组是一个最小堆，但是一个最小堆不一定是拍好序的
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4）证明：当用数组表示存储n个元素的堆时，叶节点下标分别是floor(n/2) +1, floor(n/2) + 2, ..., n.


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3.3 基本的堆操作

3.3.1 建堆

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1）MAX-HEAPIFY(A, i)
在调用MAX-HEAPIFY的时候，假定根节点为LEFT(i)和RIGHT(i)都为最大堆，MAX-HEAPIFY让A[i]的值在最大堆中逐级下降，从而使得以下标为i的子树重新遵循最大堆的性质。

2）时间代价分析
a.调整最上面三个的关系Θ(1)
b.递归处理孩子结点，至多为2n/3（最坏情况：子树结点占了整个树的大部分，发生在树的最底层恰好半满的时候）
T(n) <= T(2n/3) + Θ(1)
=>得到T(n) = Θ(lgn)


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3）证明BUILD-MAX-HEAP的正确性


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循环不变量：第2-3行中每一次for循环的开始，结点i+1, i+2, ..., n都是一个最大堆的根结点。


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4）BUILD-MAX-HEAP的时间代价


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3.3.2 INSERT(S, x)

每个元素都有一个健值key
把元素x插入到优先队列S中


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3.3.3 MAXIMUM(S)

返回S中具有最大健值的元素


3.3.4 EXTRACT-MAX(S)

去掉并返回S中的具有最大健值的元素


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一种更有效的方式（从根节点的两个儿子选取，而不是将最后一个放上去）：


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3.3.5 INCREASE-KEY(S, x, k)

将元素x的健值增加到k，这里假设k的值不小于x原来的健值



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4.d-堆

d-堆时二叉堆的简单推广。


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5.左式堆

5.1 左式堆性质

目的是高效的支持合并操作。
因为需要支持合并操作，因此需要指针。
左式堆也是二叉树，具有相同的堆序性质，唯一的区别是：趋于非常不平衡。

零路径长NPL（null path length）：定义为从X到一个没有两个儿子的结点的最短路径的长。npl(NULL) = -1. 任一结点的零路径长比它的诸儿子结点的零路径长的最小值多1.


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左式堆性质：对于堆中的每一个结点，左儿子的零路径长至少与右儿子的零路径长一样大。
该性质使得偏重于使树向左增加深度。便于合并操作。


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5.2 左式堆的操作

左式堆的基本操作是合并。插入只是合并的特殊形式。
1）左式堆的声明

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2）左式堆的合并
2-1）递归的做法

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合并两个左式堆的时间界为O(lgN)，与右路径的长的和(r1 + r2)成正比。

2-2）非递归的做法
step1.通过合并两个堆的右路径建立一棵新的树。以排序的顺序的安排H1和H2右路径上的结点，并保持各自的左儿子不变。新的路径为3,6,7,8,18.
step2.恢复左式堆的性质。交换左式堆性质被破坏的结点的左右儿子。结点7,3各有一次交换工作。



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2-3）递归和非递归的做法本质上是一模一样的
递归的做法，可以看出也是在右路径上将两个左式堆的右结点一一拼接起来，并且拼接的顺序是从底向上，也就是18->8->7->6->3；
递归的做法与非递归做法唯一的不同是：递归的做法在拼接好两个结点后，就判断是否符合左式堆性质，如果不符合，就交换左右子节点；而非递归做法要等到第二趟的时候才进行统一的交换。

3）左式堆的插入

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4）左式堆的DeleteMin

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5）左式堆DecreaseKey
二叉堆中，DecreaseKey通过降低结点的值然后将其朝着根上滤直到建成堆序来实现的。最坏情况为Θ(N)。
如下，将关键字9减到0：

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解决办法是：把堆沿着虚线切开，如此得到两棵树，然后将两棵树合并一棵。
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如果得到的两棵树都是左式堆，那么他们可以以时间O(logN)合并。
H1显然是左式堆，T2未必是左式堆。
不过容易恢复左式堆的性质：

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6.斜堆

6.1 斜堆与左式堆

斜堆~左式堆 等价于 伸展树~AVL树
斜堆是具有堆序的二叉树，但是不存在对树的结构限制，斜堆的零路径长Npl不保留，因此右路径肯能很长，所有操作的最坏情形为O(N)。 而左式堆右路径长最多不超过O(lgN)，所以最坏时间不超过O(lgN)。
正如同伸展树一样，可以证明任意M次连续操作，总的最坏情形运行时间是O(MlgN)，因此斜堆每次操作的摊还时间为O(lgN)。

6.2 斜堆的操作

1）递归操作
合并操作：除了右路径所有节点的最大者（最后一个节点，这个节点没有右儿子，比如例子中的18），交换左右儿子是无条件的。（而左式堆只交换不满足左式堆堆序性质的结点）



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2）非递归操作
step1.按排序顺序合并右路径
step2.除最后结点外，交换右路径上每个结点的左右儿子


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7.二项队列

7.1 二项队列的进一步改进

左式堆和斜堆每次操作都花费了O(lgN)时间，这有效地支持了合并、插入、DeleteMin操作。
但是还有改进的余地，二叉堆每次插入的平均时间为常数。
二项队列支持这三种操作，操作的最坏情形运行时间为O(lgN)，而插入操作平均时间为常数。

7.2 二项队列的结构

二项队列不是一棵堆序的树，而是堆序树的集合，称为森林。
每一棵堆序树称为二项树，每一个高度至多存在一棵二项树。


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如下图：具有六个元素的二相队列


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这里的本质是：将元素个数N转换成二进制形式，二进制为1的位，表示该有以该位权重为高度的二项树。

7.3 二项队列的操作

1）最小元
最小元通过搜索所有树的根来找出。由于最多有lgN棵不同的树，因此最小元可以在O(lgN)时间内找到。也可以在所有其他操作中记住最小元并更新，则只用O(1)就能找到。

2）合并操作
合并两棵二项树花费常数时间，总共存在O(lgN)棵二项树，因此合并在最坏情形下花费时间O(lgN)。
合并本质上类似于二进制的加法。


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3）插入
插入式合并的特殊形式，创建一棵单节点树并执行一次合并。这种操作的最坏情形也是O(lgN)。
更准确的说，如果元素将要插入的优先队列不存在的最小的二项树是Bi，那么运行时间与Θ(i+1)。 因为类似于一个二进制数 + 1，最多进位到Bi+1.

证明：对一个初始为空的二项队列进行N次Insert将花费的最坏情形时间为O(N)。


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4）DeleteMin


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7.4 二项队列的实现

7.4.1 二项队列的实现结构

1）DeleteMin需要快速找出根的所有子树
=> 需要使用树的标准表示法，每个结点的儿子都存在一个链表中，每个结点都有一个指针指向它的第一个儿子。
2）方便地合并两棵树
=>诸儿子按照它们的子树大小排序（原因：两棵树合并时，其中一棵树作为儿子被加到另一棵树上，由于这棵新树将是最大的子树，因此，以大小递减的方式保持这些子树是有意义的）

总之：
1）二项树是二项树的数组
2）二项树的每一个结点将包含数据、第一个儿子以及右兄弟


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1）二项队列类型声明


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2）合并同样大小的两棵二项树


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7.4.2 二项队列的操作实现

1）合并


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合并程序说明：
a. !!T，若二项树T存在，则!!T为1，否则为0
b. (!!T1 + !!T2 + !!Carry)这种处理方式太妙了，将所有的八种情况全部全都概括了，程序一下子变得很简洁
c. 通过j来控制循环次数，j = 2的i次方，当j大于CurrentSize的时候，则H1和H2都没有二项树了。

2）DeleteMin


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DeleteMin完全按照前面的思路实现的：
step1.找出最小元素所在的树，去掉最小元素，将所有子树重新加入到一个二项队列
step2.将原二相队列去掉最小元素所在的树剩下队列，与新生成的二相队列合并

8.斐波那契堆（本质是二项队列，参见EXTRACT-MIN中对相同degree树的合并）

8.1 斐波那契堆概念

1）可合并堆
可合并堆是支持以下5种操作的一种数据结构，其中每个元素都有一个关键字：
MAKE-HEAP()：创建和返回一个新的不含任何元素的堆
INSERT(H, x)：将一个已填入关键的元素x插入堆H中
MINIMUM(H)：返回一个指向堆H中具有最小关键字元素的指针
EXTRACT-MIN(H)：从堆H中删除最小关键字的元素，并返回一个指向该元素的指针。
UNION(H1, H2)：创建并返回一个包含堆H1和堆H2中所有元素的新堆。

2）斐波那契堆还支持两种操作
DECREASE-KEY(H, x, k)：将堆H中元素x的关键字赋予新值k。假定新值k不大于当前的关键字
DELETE(H, x)：从堆H中删除x

3）斐波那契堆是二项队列的推广
通过添加两个新的观念：
a. DECREASE-KEY的一种不同的实现方法：之前的方法是把元素朝向根节点上滤。这种方法不能实现O(1)的摊还时间界，因此需要一种新的方法。（斐波那契堆是直接剪切掉，放到根链表中）
b. 懒惰合并：只有当两个堆需要合并时才进行合并。类似于懒惰删除。对于懒惰合并，UNION是低廉的。但是因为懒惰合并并不实际把树结合在一起，所以EXTRACT-MIN操作可能会遇到很多树，从而使得这种操作的代价高昂。 特别地，一次昂贵EXTRACT-MIN必须在其前面要有大量非常低廉的UNION操作


4）理论上的斐波那契堆与实际中的斐波那契堆
a.理论上
当EXTRACT-MIN和DELETE数目相比其他操作小得多的时候，斐波那契堆尤其适用。例如：最小生成树、单元最短路径。
b.实际中
除了某些需要管理大量数据的应用外，对于大多数应用，斐波那契堆的常数因子和编程复杂性使得它比起普通二叉堆(d-堆)并不那么适用。
二叉堆和斐波那契堆对于SEARCH操作支持比较低效。因此，涉及给定元素的操作（DECREASE-KEY和DELETE）均需要一个指针指向这个元素。

8.2 斐波那契堆结构

一个斐波那契堆时一系列具有最小堆序的有根树的集合。
每棵树遵循最小堆性质：每个结点的关键大于或等于它的父节点关键字。



使用环形双向链表：
1）可以在O(1)内从一个环形双向链表的任何位置插入一个结点或删除一个结点
2）给定两个这种链表，可以用O(1)时间把它们链接成一个环形双向链表

每个结点的属性：
x.p 父指针
x.child 某一个孩子指针
x.left
x.right 左右兄弟
x.degree 结点x的孩子链表中的孩子数目
x.mark 指示结点x自从上一次成为另一个结点的孩子后，是否失去过孩子（这个属性有什么作用？）

H.min 通过该指针访问一个给定的斐波那契堆H，该指针指向具有最小关键字的树的根节点。（最小节点）
H.n 表示H中当前的结点数目
根链表：所有树的根形成一个环形的双链表

step1.斐波那契堆势函数的定义
对于一个给定的斐波那契堆H，用t(H)来表示H中跟链表中数的数目，用m(H)表示H中已标记的结点数目。定义H的势函数：Φ(H) = t(H) + 2m(H)
例如上图中斐波那契堆的势为5+2x3=11.（有5棵根数，3个被标记的结点）
势初始值为0，势在随后的任何时间内都不为负，对于某一操作序列来说，总的摊还代价的上界就是其总的实际代价的上界。

8.3 斐波那契堆的操作

1）MAKE-FIB-HEAP
创建一个空的斐波那契堆，其中H.n = 0和H.min = NIL

step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——建堆
空堆斐波那契堆的势为Φ(H) = 0，因此建堆的摊还代价等于它的实际代价O(1)。

2）FIB-HEAP-INSERT(H, x)
假定结点x已经被分配，x.key已经被赋值

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如下例子插入了一个具有关键字21的结点：
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step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——插入
假设H是输入的斐波那契堆，H'是结果斐波那契堆。那么
t(H') = t(H) +1
m(H') = m(H)
势的增量为：((t(H) + 1) + 2m(H)) - (t(H) + 2m(H)) = 1
实际代价为O(1)
因此摊还代价为O(1) + 1 = O(1)

3）FIB-HEAP-MINIMUM(H)
通过H.min得到

step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——最小值
势无变化，因此摊还代价等于实际代价O(1)

4）FIB-HEAP-UNION(H1, H2)
仅仅将H1和H2的根链表链接，然后确定新的最小结点。

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step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——合并
由于两个链表合并，势无变化（根节点数为两个之和，标记结点为两个之和，都无变化），因此摊还代价为实际代价O(1)

5）FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)
假定当一个结点从链表中移除后，留在链表中的指针要被更新，但是抽取出的结点中的指针并不改变。


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FIB-HEAP-EXTRACT-MIN代码说明：
step1.将最小结点的每个孩子变为根节点，并从根链表中删除该最小结点
step2.通过把具有相同度数的根节点合并的方法来链接成根链表，直到每个度数至多只有一个根在根链表中。重复以下步骤：
2-1.在根链表中找到两个具有相同度数的根x和y，不失一般性，假定x.key <= y.key
2-2.把y链接到x：从根链表中移除y，调用FIB-HEAP-LINK过程，使y成为x的孩子。该过程将x.degree属性增1，并清除y上的标记。

几种情况：
a. 空堆
b. 只有一个结点（H.min，且没有孩子结点）
c. 其余情况

优先队列——堆_第56张图片

图示说明：
a-b说明的是step1
c-m说明的是step2
其中l-m步骤是将其还原成根链表的形式

从这个操作可以看出，斐波那契堆本质上跟二项队列是一致，其中x.degree表示的2的多少次方。

step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——删除并返回关键字

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6）FIB-HEAP-DECREASE-KEY(H, x, k)
同样假定，从一个链表中移除一个结点不改变被移除结点的任何结构属性。

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代码说明：
a. 没有违反堆序性质，即x是根节点或者x.key >= y.key
b. 违反了最小堆序，需要很多改变
b-1. 如果违反了最小堆序，需要进行切断，切断过程与父节点的关系，并让该结点成为根节点
b-2.mark的作用：记录了每个结点一小段历史
假定下面的步骤已经发生在结点x上：

  • 在某个时刻，x是根
  • 然后x被链接到另一个结点（成为孩子结点）
  • 然后x的两个孩子被切断操作移除

一旦失掉第二个孩子，就切断x与父节点的链接，使它成为一个新的根。如果发生了第1步和第2步且x的一个孩子被切掉，那么x.mark为TRUE。
CUT执行了第一步，因此清除x.mark。
前面FIB-HEAP-LINK中也清除了y.mark，因为y被链接到另一个结点上（第二步）。

其中CASCADING-CUT(H, y)为什么当z不为空时，y.mark标记一定有，因为所有有父节点的结点，都是通过FIB-HEAP-EXTRACT-MIN中的CONSOLIDATE得到的（合并只是将结点加入到根链表，而这个动作会进行合并），而CONSOLIDATE中的FIB-HEAP-LINK将一个结点加入到另一个结点下面时，会将子节点mark置为false。

此时，x的父节点y，可能是y的父节点z被切掉的第二个孩子，因此要尝试进行一次级联切断。一直递归向上，直到遇到根节点或者一个未被标记（false）的结点。

问题：为什么要这样设计mark？有什么作用？
这里斐波那契堆设计的关键点：一个结点最多失去一个孩子，如果失去两个孩子，就要被从父节点中剪切掉。
根据引理19.1到19.4，才能保证具有斐波那契数列性质。

关键字为46的结点将关键字减小到15：


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关键位35的结点将关键字减小到5：


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step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——减小关键字

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标记结点前面有2的原因：
一个标记结点y被一个级联切断操作切断的时候，它的标记位情况，使得势减小了2。一个单位的势支付切断和标记位的清除，另一个单位补偿了因为结点y变成根而增加的势。
这个地方标记为2：一方面支付上面说的实际代价O(c)，也即级联切断变成根的代价O(c)；一方面支付因为变成根而增加的势（t(H)+c）中的c。

7）FIB-HEAP-DELETE(H, x)
假定在斐波那契堆中任何关键字的当前值均不为负无穷。

step2.斐波那契堆各操作的摊还代价——删除结点
是两者之和，即O(D(n))

8.4 斐波那契堆的分析

size(x)：以x为根的子树中包括x本身在内的结点个数。将证明size(x)是x.degree的幂。


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9.van Emde Boas树

9.1 van Emde Boas树相对其他优先队列数据结构的优势

9.1.1 基于关键字比较的优先队列数据结构

二叉堆、红黑树、斐波那契堆，不论是最坏或摊还情况，至少有一项重要操作需O(lgn)时间。
原因是这些数据结构都是基于关键字比较来做决定的。基于比较的排序算法的下界是Ω(nlgn)说明至少有一个操作必须Ω(lgn)。因为如果INSERT和EXTRACT-MIN操作均需要O(lgn)，那么可以通过先执行n次INSERT操作，接着再执行n次EXTRACT-MIN操作来实现O(nlgn)时间内对n个关键字的排序。

9.1.2 特定条件下的van Emde Boas可以突破比较类型堆的时间限制

当关键字是有界范围内的整数是，可以突破排序下界限制。
同理，van Emde Boas树支持优先队列操作以及一些其他操作（SEARCH、INSERT、DELETE、MINIMUM、MAXIMUM、SUCESSOR、PREDECESSOR），每个操作最坏情况运行时间为O(lglgn)。这种数据结构限制关键字为0~n-1的整数且无重复。

n表示集合中当前元素的个数
u表示元素的可能取值范围，假定u恰为2的幂

9.2 一些简单方法

1）直接寻址
维护一个u位的数组A[0..u-1]，以存储一个值来自全域{0, 1, 2, ..., u-1}的动态集合。若值x属于动态集合，则A[x]位1；否则为0.
可使INSERT、DELETE、MEMBER操作的运行时间为O(1)，其余操作（MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR、PREDECESSOR）在最坏情况下仍需Θ(u)。

2）叠加二叉树结构
在位向量上叠加一棵二叉树，来缩短位向量的扫描。
内部节点存储的位是其两个孩子的逻辑或。

最坏运行时间为Θ(lgu)的操作：
MINIMUM（从树根开始，总是走最左边包含1的结点）
MAXMUM（总是走最右边包含1的结点）
SUCCESSOR（向上走，直到从左侧进入一个结点，该节点的右孩子为1）
PREDECESSOR（向上走，直到从右侧进入一个结点，该节点的左孩子为1）


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PREDECESSOR

最坏运行时间为O(lgu)的操作：
INSERT：从该节点到根的简单路径上的每个节点都置位1
DELETE：从该叶节点出发到根，重新计算这个简单路径上每个内部节点的值

3）叠加的一棵高度恒定的树

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9.3 改进——van Emde Boas结构的原型（未达到O(lglgu)）

1）分析
使用递归，每次递归都以平方根缩减。
考虑如下递归式：

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x的簇编号和在簇中的位置（偏移）：
g

2）结构

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如下实例，表示集合{2,3,4,5,7,14,15}：
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3）操作
这些操作都假定 0 <= x < V.u

a. PROTO-vEB-MEMBER(V, x)


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T(u) = O(lglgu)

b. PROTO-vEB-MINIMUM(V)


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a = 2, b =2, f(m) = 1 = O(m)
因此T(m) = Θ(m) = Θ(lgu)

c.PROTO-vEB-SUCCESSOR(V, x)


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d.PROTO-vEB-INSERT(V, x)——Θ(lgu)


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e.PROTO-vEB-DELETE(V, x)

9.4 改进——van Emde Boas树

1）结构




如下实例，表示集合{2,3,4,5,7,14,15}：

image.png

递归式如下：
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优先队列——堆_第78张图片

2）操作
a. 最值

b.判断是否在集合中


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c.前驱后继


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d.插入一个元素



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3.删除一个元素


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10.配对堆（pairing heap）

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10.1 配对堆的定义

配对堆的基本操作是两个多路堆序树的合并，因此叫配对堆。
配对堆被标示成堆序树：



结点的构造：

  • LeftChild —— 左儿子
  • NextSibling —— 右兄弟
  • Prev —— 作为最左儿子，该指针指向其父亲；否则该指针指向其做兄弟

10.2 配对堆的操作

10.2.1 两个多路堆序树合并

让具有较大根的子堆成为另一个子堆的最左儿子。


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10.2.2 插入

插入式合并的特殊形式。


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10.2.3 DecreaseKey

将调整后的结点从它的父节点切除，通过合并所得到的两个堆完成。


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10.2.4 DeleteMin

将根出去，得到堆的一个集合。如果根有c个儿子，那么对合并过程进行c-1次调用将该堆重建。


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10.2.5 两趟合并法

  • step1.从做到有扫描，合并诸儿子对。（注意奇数情况，将最后一个儿子与最右合并的结果合并）
  • step2.从右到左，将第一次扫描剩下的最右边的树和当前合并的结果合并
    例如：有8个儿子：c1-c8,
    第一次扫描：c1和c2，c3和c4，c5和c6，c7和c8合并，得到d1, d2, d3, d4
    第二次扫描：d4和d3合并，然后与d2合并，最后与d1合并
优先队列——堆_第92张图片


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