Python在高等数学中的运用

一、问题背景

高等数学应用非常广，基本上涉及到函数的地方都要用到微积分，还有在几何方面也是如此，计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算，比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。

二、实验目的

使用 Python 通过计算与作图，加强对极限、导数、积分等概念的理解，并掌握它们计算方法，以及求微分方程和方程组解析解的方法。

三、实验原理与数学模型

1. 函数极限${\lim }_{x\to a}f(x)=A$求解讨论以及两个重要极限${\lim }_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$和${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$的验证。

2. 导数概念和导数的几何意义，以及计算多元函数偏导数和全微分的方法。

3. 一元函数积分学$\int f(x)dx$和多元函数积分学$\iint f(x,y)dxdy$。

4. 微分方程和方程组在有无初始条件的分析。

四、实验所用软件

• Python 3.7
• NumPy 1.16.4
• SymPy 1.4
• Matplotlib 3.1.1

五、主要内容

1. 函数极限的求解和两个重要极限的探究；
2. 导数、高阶导数以及隐函数、参数方程定义函数导数的求解，多元函数偏导数和全微分的求解；
3. 计算定积分和不定积分以及重积分的方法；
4. 求解微分方程以及方程组解析解的方法。

六、实验过程

1. 函数极限的求解和两个重要极限

在这个实验中我们通过对简单的函数进行单侧极限的求解，并且分析两个重要极限。

例 1：考虑函数 $y=arctan(\frac{1}{x})$ 在$x=0$的左右极限。

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp

# 求函数 y=arctan(1/x) 的左右极限
x = sp.Symbol('x')
fr = sp.atan(1 / x)
xl = sp.limit(fr, x, 0, dir='-')
xr = sp.limit(fr, x, 0, dir='+')
print('%s 左极限是：%s' % (str(fr), str(xl)))
print('%s 右极限是：%s' % (str(fr), str(xr)))
# 绘制函数 y=arctan(1/x) 的图像
x = np.arange(-6, 6, 0.01)
y = np.arctan(1 / x)
plt.title('y=arctan(1/x)')
plt.plot(x, y)
plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

atan(1/x) 左极限是：-pi/2
atan(1/x) 右极限是：pi/2

根据计算结果和绘制的图像分析求得出题中函数的左右极限分别为$-\frac{\pi }{2}$和$\frac{\pi }{2}$。

例 2：两个重要极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$ 和 ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ 的验证。

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp

# 分析两个重要极限
x = sp.Symbol('x')
f1 = sp.sin(x) / x
f2 = (1 + 1 / x) ** x
x1 = sp.limit(f1, x, 0)
x2 = sp.limit(f2, x, 'oo')
print('%s 第一重要极限的值：%s' % (str(f1), str(x1)))
print('%s 第二重要极限的值：%s' % (str(f2), str(x2)))
# 绘制函数图像分析两个重要极限
x1 = np.arange(-3, 3, 0.01)
x2 = np.arange(0.01, 100, 0.1)
y1 = np.sin(x1) / x1
y2 = (1 + 1 / x2) ** x2
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.title('y=sin(x)/x')
plt.plot(x1, y1)
plt.subplot(122)
plt.title('y=(1+1/x)**x')
plt.plot(x2, y2)
plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

sin(x)/x 第一重要极限的值：1
(1 + 1/x)**x 第二重要极限的值：E

根据上图变化趋势理解函数极限和程序得出的答案，验证两个重要极限。

2. 导数与微分的研究

在这个实验中，我们探究导数概念及其几何意义，高阶导数，隐函数导数，参数方程定义的函数导数，以及求解多元函数偏导数和全微分。

例 1：求 $f(x)=2x^3+3x^2-12x+7$ 的导函数，并作出该函数图形和在 $x=-1$ 处的切线。

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp

# 导数与微分
x = sp.Symbol('x')
f = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7
d = sp.diff(f)
print('%s 的导函数为：%s' % (f, d))
y_d = d.evalf(subs={
     x: -1})
y_h = f.evalf(subs={
     x: -1})
print('将x=-1代入导函数求解为：%d' % (y_d))
print('将x=-1代入原函数求解为：%d' % (y_h))
f_d = y_d * (x + 1) + y_h
print('得出切线方程为：%s' % f_d)
# 绘制函数图和切线图
x = np.arange(-4, 3, 0.01)
y1 = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7
y2 = 8 - 12 * x
plt.title('函数y=2*x**3+3*x**2-12*x+7以及当x=-1时的切线')
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.plot(x, y1, x, y2)
plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

2*x**3 + 3*x**2 - 12*x + 7 的导函数为：6*x**2 + 6*x - 12
将x=-1代入导函数求解为：-12
将x=-1代入原函数求解为：20
得出切线方程为：8.0 - 12.0*x

最后执行便在同一个坐标系内作出了函数$f(x)$的图形和它在 $x=-1$ 处的切线（直线为切线）。

此两行代码是为了解决在绘图中中文显示乱码的问题。

plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

例 2：求函数 $y=x^{10}+2(x-10{)}^9$ 的1阶到11阶导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
y = x ** 10 + 2 * (x - 10) ** 9
for n in range(1, 12):
    y = d = sp.diff(y)
    print('第%2d阶导数为：%s' % (n, d))

运行代码输出结果：

第 1阶导数为：10*x**9 + 18*(x - 10)**8
第 2阶导数为：90*x**8 + 144*(x - 10)**7
第 3阶导数为：720*x**7 + 1008*(x - 10)**6
第 4阶导数为：5040*x**6 + 6048*(x - 10)**5
第 5阶导数为：30240*x**5 + 30240*(x - 10)**4
第 6阶导数为：151200*x**4 + 120960*(x - 10)**3
第 7阶导数为：604800*x**3 + 362880*(x - 10)**2
第 8阶导数为：1814400*x**2 + 725760*x - 7257600
第 9阶导数为：3628800*x + 725760
第10阶导数为：3628800
第11阶导数为：0

输出即为题中要求所得函数高阶导数。

例 3：求由方程 $2x^2-2xy+y^2+x+2y+1=0$ 确定的隐函数的导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
z = 2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 + x + 2 * y + 1
d = -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y)
print('原方程导数为：%s' % d)

运行代码输出结果：

原方程导数为：(-4*x + 2*y - 1)/(-2*x + 2*y + 2)

该实验根据隐函数求导公式 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{Fy}$ 求得，然后再根据一般求导公式即可求出结果。

例 4：求由参数方程 $x=e^{t}cos(t),y=e^{t}sin(t)$ 确定的函数的导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

t = sp.Symbol('t')
x = sp.exp(t) * sp.cos(t)
y = sp.exp(t) * sp.sin(t)
d = sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t)
print('原参数方程导数结果为：%s' % d)
d = sp.simplify(d)
print('原参数方程导数化简为：%s' % d)

运行代码输出结果：

原参数方程导数结果为：(exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))
原参数方程导数化简为：tan(t + pi/4)

根据参数方程求导法则最后求得由参数方程确定函数的导数。

例 5：设 $z=sin(xy)+co{s}^2(xy)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ 。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
z = sp.sin(x * y) + (sp.cos(x * y)) ** 2
d1 = sp.diff(z, x)
d2 = sp.diff(z, y)
d3 = sp.diff(z, x, 2)
d4 = sp.diff(sp.diff(z, x), y)
print('第一偏导数为：%s' % d1)
print('第二偏导数为：%s' % d2)
print('第三偏导数为：%s' % d3)
print('第四偏导数为：%s' % d4)

运行代码输出结果：

第一偏导数为：-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) + y*cos(x*y)
第二偏导数为：-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) + x*cos(x*y)
第三偏导数为：y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2)
第四偏导数为：2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) + cos(x*y)

以上为多元函数偏导数的结果。

3. 定积分与不定积分以及重积分的研究

在这个实验中，我们研究定积分与不定积分的计算，以及多重积分的计算，深入理解曲线积分、曲面积分的概念个计算方法。

例 1：计算 $\int \sqrt{4-x^2}dx$ 和 ${\int }_1^2\sqrt{4-x^2}$ 。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
y = sp.sqrt(4 - x ** 2)
i1 = sp.integrate(y, x)
i2 = sp.integrate(y, (x, 1, 2))
print('不定积分的结果为：%s' % i1)
print('定积分的结果为：%s' % i2)

运行代码输出结果：

不定积分的结果为：x*sqrt(4 - x**2)/2 + 2*asin(x/2)
定积分的结果为：-sqrt(3)/2 + 2*pi/3

使用 Python 求解不定积分时，会省略积分的常数。

例 2：计算三重积分 $\iiint (x^2+y^2+z)dxdydz$ ，其中 $\Omega$ 由曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成。

解：编写Python代码作出区域 $\Omega$ 的图形，如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

x = np.arange(-1, 1, 0.05)
y = np.arange(-1, 1, 0.05)
x, y = np.meshgrid(x, y)
z1 = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
z2 = np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2)
ax = Axes3D(plt.figure())
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
ax.set_title('三重积分曲面')
ax.plot_surface(x, y, z1)
ax.plot_surface(x, y, z2)
plt.show()

将方程转换为柱坐标计算，然后确定积分限，编写Python代码：

import sympy as sp

r, s, z = sp.symbols('r s z')
f = (r ** 2 + z) * r
i = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi))
print('三重积分计算结果为：%s' % i)

运行代码输出结果：

三重积分计算结果为：2*pi*(-5/12 + 8*sqrt(2)/15)

4. 求微分方程的解析解

在这个实验中，我们用通过 Python 来求解微分方程的通解，在初始条件下的特解，以及微分方程组在初始条件下的特解。

例 1：求微分方程 $y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$ 的通解。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(y.diff(x) + 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2))
diff = sp.dsolve(d, y)
print('微分方程的通解为：%s' % diff)

运行代码输出结果：

微分方程的通解为：Eq(f(x), (C1 + x**2/2)*exp(-x**2))

例 2：求微分方程 $x{y}^{\prime }+y-e^{-x}=0$ 在初始条件 $y{|}_{x=1}=2e$ 下的特解。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(x * y.diff(x) + y - sp.exp(-x), 0)
diff = sp.dsolve(d, y, ics={
     f(1): 2 * sp.exp(1)})
print('微分方程的特解为：%s' % diff)

运行代码输出结果：

微分方程的特解为：Eq(f(x), ((1 + 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)

七、实验结果报告与总结

通过本次实验，我深入理解了函数极限，导数与微分，定积分与不定积分的概念，通过作图与观察，更熟练掌握了微积分学中的各种计算与求解方法，加深了对微分方程的理解，以及对多元函数微分学与积分学的深刻理解。

八、思考与深入

1. 利用导数求多项式方程近似解以及函数的极值和单调区间；
2. 利用重积分求空间图形的体积和平面图形的面积，计算曲线积分和曲面积分；
3. 利用欧拉折线法和龙格-库塔法求微分方程近似解。

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