基于余弦相似度的改进蝴蝶优化算法

一、理论基础

1、蝴蝶优化算法

请参考这里。

2、改进蝴蝶优化算法

（1）基于余弦相似度位置更新策略

引入余弦相似度衡量最优蝴蝶位置与周围蝴蝶的分布情况，通过构造当前蝴蝶个体位置和最优个体之间的向量，余弦相似度为分布情况的指标，更新余弦相似度较高且适应度较差的蝴蝶个体位置，既加快算法收敛的速度，也保持了种群的多样性。策略具体细节如下：
首先构建$\mathbf{a},\mathbf{b}$向量：$$\begin{array}{r}\mathbf{a}={\mathbf{x}}_i^t-{\mathbf{g}}^{\ast }\\ \mathbf{b}={\mathbf{x}}_j^t-{\mathbf{g}}^{\ast }\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，第$t$次迭代的当前蝴蝶位置，记为${\mathbf{x}}_i^t$。${\mathbf{x}}_j^t$表示第$t$次迭代其他蝴蝶位置中的一个，${\mathbf{g}}^{\ast }$为第$t$代中最优蝴蝶的位置。
定义${\cos }_j(\mathbf{a},\mathbf{b})$为两个向量之间的余弦相似度，取值范围为$[-1,1]$，个体位置之间相似度计算公式为：$${\cos }_j(\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，分子为向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的内积，分母为向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的模之积。
位置更新公式如下：$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{x}}_j^t={\mathbf{g}}^{\ast }+\alpha \frac{1}{n||{\mathbf{x}}_j^t|{|}_2}{\mathbf{R}}_r{\mathbf{g}}^{\ast }f({\mathbf{x}}_j^t)\ge f({\mathbf{x}}_i^t)\\ {\mathbf{x}}_i^t={\mathbf{x}}_i^t+\delta {\mathbf{R}}_e{\mathbf{x}}_i^{t}otherwise\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$其中$f({\mathbf{x}}_i^t)$和$f({\mathbf{x}}_j^t)$分别为蝴蝶个体${\mathbf{x}}_i^t$和${\mathbf{x}}_j^t$的适应度值，$\alpha$为旋转因子；${\mathbf{R}}_r\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$是一个其元素取值在 $[-1,1]$之间均匀分布的随机矩阵，$||\cdot ||$为向量2-范数，理论上能将位置旋转到以半径为$\alpha$的任何位置。$R_e\in R^{n\times n}$是一个其非零元素取值服从高斯分布随机对角矩阵，从理论上看，能将位置伸缩到服从$\delta$的范围内。

（2）根据适应度动态调整转换概率策略

本文采用文献[1]所提出的自适应机制来描述切换概率，并且做了改进。如公式(1)所示。$$P_i^t=P_{min}+\left(\frac{log(|f_{min}^t|)+|f_{min}^t|}{log(|f_i^t|)+|f_i^t|}\right)\times (P_{max}-P_{min})\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$P_i^t$是在第$t$次迭代中第$i$只蝴蝶个体位置的切换概率，$P_{min}$和$P_{max}$分别是切换概率的最小值和最大值，$f_{min}^t$表示第$t$次迭代的最好适应度，$f_i^t$表示在第$t$次迭代第$i$只蝴蝶的适应度。蝴蝶位置对应的适应度接近最优的适应度时，其切换的概率接近大值，更容易进入全局的引导；反之当前个体的适应度与最好的适应度相差较大时，其转换概率接近最小值，更容易进入局部的引导。这样有利于将好的个体引导全局，较差的个体得到更多的机会引导。

（3）自适应混合惯性权重

为了协调算法的全局和局部搜索能力引入了自适应惯性权重(5)。$$w=\beta \times \left(1-\frac{\exp (|f_{min}^t|)+|f_{min}^t|}{\exp (|f_i^t|)+|f_i^t|}\right)+K\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$K$为调整过的$sigmoid$函数(6)。$$K=1-1/(1+\exp (-(-15t-7Max\_iter)/Max\_iter))\text{\hspace{1em}(6)}$$$K$值是调整过的$sigmoid$函数，该函数是神经网络中最常用的激活函数之一。该函数在线性和非线性之间展现出极好的平衡性，拥有平滑的上界域和下边界域。在迭代前期参数$K$能保持较大值，延长初期阶段的全局搜索能力和强度。伸缩的范围较大，保留个体的多样性。中期K值随着迭代次数的增加而减少，从而加快算法的收敛速度。在迭代后期的一段保持一个较小的权重，延长了迭代后期的局部搜索时间，更有利于进行局部搜索，更新后的全局阶段搜索过程用公式(7)表示。$${\mathbf{x}}_i^{t+1}=w{\mathbf{x}}_i^t+({\mathbf{r}}^2\times {\mathbf{g}}^{\ast }-{\mathbf{x}}_i^t)\times f\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，参数$\beta$为影响程度因子。蝴蝶个体适应度接近当前最好的适应度时，其权重接近最小值，较小的权重有利于进行局部开发；反之当前个体的适应度与最好的适应度相差较大时，其权重接近最大值，保留当前个体的更多信息，下一次迭代保持较强的全局搜索能力。

二、MSBOA算法步骤

多策略改进蝴蝶优化算法(MSBOA)的基本流程如下：
Step 1：初始化。初始化算法参数，随机生成种群位置，计算适应度并择优保存。
Step 2：蝴蝶位置更新阶段。根据式(1)构建向量，并根据式(2)计算蝴蝶个体位置的余弦相似度，设置阈值$C$将相似度高于阈值的蝴蝶位置通过式(3)进行位置更新。
Step 3： 计算当前个体适应度，并根据式(4)计算$P$值判断当前迭代当前个体是进行全局搜索还是局部搜索，并通过式(5)计算当前个体的自适应惯性权重，更新蝴蝶位置。
Step 4： 计算位置更新后每只蝴蝶所在位置适应度，并且更新最优位置。
Step 5： 重复Step 2、Step 3和Step 4的更新迭代过程，若达到设置收敛精度要求或规定的最大迭代次数，终止算法并输出最优解。

三、仿真实验与结果分析

1、与原算法对比

将MSBOA算法与基于余弦相似度位置更新策略的BOA1算法，结合动态调整概率策略的BOA2算法，增加自适应混合惯性权重的BOA3算法以及基本的BOA算法进行比较，验证不同改进策略的有效性。独立运行30次。以F1~F3为例。
下图为对函数F1的寻优对比曲线。
5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
BOA：最大值: 1.4873e-11,最小值:1.1842e-11,平均值1.3085e-11,标准差:7.8596e-13
BOA1：最大值: 1.2976e-12,最小值:4.8647e-14,平均值2.5993e-13,标准差:2.4962e-13
BOA2：最大值: 1.4247e-11,最小值:1.1195e-11,平均值1.2618e-11,标准差:8.3223e-13
BOA3：最大值: 5.7668e-131,最小值:0,平均值1.9223e-132,标准差:1.0529e-131
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

下图为对函数F2的寻优对比曲线。

5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F2
BOA：最大值: 5.7262e-09,最小值:1.999e-09,平均值4.5713e-09,标准差:1.2576e-09
BOA1：最大值: 1.2196e-09,最小值:1.0712e-10,平均值3.6748e-10,标准差:2.2777e-10
BOA2：最大值: 8.7251e-09,最小值:5.2145e-09,平均值6.5784e-09,标准差:8.9912e-10
BOA3：最大值: 8.1849e-282,最小值:0,平均值2.7283e-283,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

下图为对函数F3的寻优对比曲线。
5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F3
BOA：最大值: 1.3987e-11,最小值:1.0692e-11,平均值1.2555e-11,标准差:8.4149e-13
BOA1：最大值: 7.789e-12,最小值:2.1539e-12,平均值5.4507e-12,标准差:1.8653e-12
BOA2：最大值: 1.3196e-11,最小值:8.5686e-12,平均值1.0695e-11,标准差:1.1149e-12
BOA3：最大值: 1.6424e-56,最小值:0,平均值5.4747e-58,标准差:2.9986e-57
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

2、与已有文献算法对比

将MSBOA算法与向量粒子群算法(Phasor Particle Swarm Optimization,PPSO)[2]，改进的灰狼优化算法(An improved grey wolf optimization,IGWO)[3]，对数惯性权重和高斯差分变异策略的鲸群算法(Whale Optimization Algorithm based on Logarithmic inertia weight and Gaussian difference mutation,IGWOA)[4]以 及 优 选 策 略 的 自 适 应 蚁 狮 优 化 算 法[5](Preferred Strategy Self-adaptive ALO,PSALO)，基于折射反向学习与自适应控制因子的改进樽海鞘群算法(Modified SSA Based on Refracted Oppositional Learning and Adaptive Control Factor,RCSSA)[6]。独立运算30次进行比较，验证改进算法的优越性。以F1~F3为例。
下图为对函数F1的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F1
PPSO：最大值: 0.1012,最小值:0.00010734,平均值0.022354,标准差:0.024799
IGWO：最大值: 5.7749e-315,最小值:5.8029e-316,平均值2.8935e-315,标准差:0
IGWOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0
PSALO：最大值: 1.7605e-09,最小值:2.4675e-11,平均值3.8461e-10,标准差:4.3313e-10
RCSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

下图为对函数F2的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F2
PPSO：最大值: 2.3202,最小值:0.011792,平均值0.66735,标准差:0.51065
IGWO：最大值: 3.5055e-158,最小值:9.976e-159,平均值1.9556e-158,标准差:6.525e-159
IGWOA：最大值: 1.5589e-186,最小值:3.886e-198,平均值6.6509e-188,标准差:0
PSALO：最大值: 2.4964e-05,最小值:2.4291e-06,平均值7.7968e-06,标准差:5.0552e-06
RCSSA：最大值: 2.3135e-173,最小值:1.6686e-173,平均值1.999e-173,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

下图为对函数F3的寻优对比曲线。
6种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下：

函数：F3
PPSO：最大值: 1.2508,最小值:1.1228e-07,平均值0.14186,标准差:0.26569
IGWO：最大值: 8.9925e-303,最小值:1.2995e-304,平均值1.5428e-303,标准差:0
IGWOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0
PSALO：最大值: 3.3382e-08,最小值:3.3207e-09,平均值1.4187e-08,标准差:8.2333e-09
RCSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0
MSBOA：最大值: 0,最小值:0,平均值0,标准差:0

综上可知，对于以上基本测试函数，MSBOA都有较优的稳定性以及寻优能力，有效的解决BOA算法求解精度不高的问题。

四、参考文献

[1] 宋钰,石立宝. 参数动态调整的自适应布谷鸟算法[J]. 计算机工程与应用, 2020, v.56;No.966(23):67-73.
[2] Ghasemi M , Akbari E , Rahimnejad A , et al. Phasor particle swarm optimization: a simple and efficient variant of PSO[J]. Soft Computing, 2018.
[3] 龙文, 伍铁斌. 协调探索和开发能力的改进灰狼优化算法[J]. 控制与决策, 2017, 32(010):1749-1757.
[4] 陈雷，尹钧圣. 高斯差分变异和对数惯性权重优化的鲸群算法[J]. 计算机工程与应用, 2021, 57(2): 77-90.
[5] 刘景森, 霍宇, 李煜. 优选策略的自适应蚁狮优化算法[J]. 模式识别与人工智能, 2020(2).
[6] 范千、陈振健、夏樟华. 一种基于折射反向学习机制与自适应控制因子的改进樽海鞘群算法[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2020, v.52(10):189-197.

五、参考文献

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