2018-10-14

第八章 下

• 反Z变换
  • 1、级数展开法
    • 将各个元素与对号入座
    • 实现途径：常除
    • 1、用这种方法容易求得信号的前面的几个点上的值，但是无法得到解析式
    • 2、可以得到好几个解
    • 3、无法与收敛域结合，得到正确的函数
  • 2、部分分式展开法
    • LT的分解法，是利用已知的Z变换的结果计算反Z变换
    • 1、单边ZT的反变换
      • 基本变换
      • 2、计算方法
        • 对进行部分分式展开，对应于基本的公式，可以得到原函数
    • 双边Z变换的反变换计算
      • 与双边LT反变换一样，在双边ZT中的原函数与其收敛区间有关
  • 3、留数法
    • 1.通过计算留数，可以得到原函数
      • • k大于一定值
        • 处无极点，不要计算的各阶留数
      • • k小于一定值
        • 不要考虑的点，不要计算的各阶留数，但会涉及处留数的计算
• ZT和LT关系
  • ZT的对象是离散时间序列，而LT的对象是连续时间信号
  • 理想的抽样信号的LT与其相应的离散序列的ZT之间的关系
    • S平面和Z平面的映射关系
  • 假设：
  • 则有：
  • s平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内
  • s平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外
  • s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上
  • 映射不是一一对应的关系，相交 随着以为周期重复，取样率
  • 对序列求Z变换
• 离散时间系统ZT分析法
  • 在离散时间系统中同样也可以通过ZT，将求解差分方程的问题转换为求解代数方程的问题，通过对差分方程取ZT，自动引入初始条件，一次性得到系统的全响应
  • 的ZT求解法
  • 的ZT求解法
    • 1.初始状态为零，激励信号也是一个有始信号,对于因果系统(m<=n)
    • • 系统的转移函数
      • 是系统的单位函数响应的ZT
  • 系统的全响应
  • 直接求解法
    • 对差分方程的两边同求ZT，并带入初始条件
• 离散时间系统的稳定性
  • 充分必要条件是其单位函数响应绝对可和
    • 传输函数的极点在单位圆内部
    • 单位圆上有单极点,则系统临界稳定
  • 的分母比较复杂(三次以上的多项式)
    • 引入双线性变换
    • 这是一个单映射,映射后仍然是一个有理函数
    • Z平面单位圆以外映射到平面右平面
    • Z平面单位圆以内映射到平面左平面
    • 判断根的情况依然可以用罗斯-霍维斯准则
• 的实现
  • 离散时间系统的变换域框图
    • 加法器--数字加法器
    • 乘法器--数字乘法器
    • 延时器--移位相乘器
  • 数字滤波器的分类
    • 按照传输函数的形式
      • 递归滤波器,或者自回归滤波器
      • 非递归滤波器,或者滑动平均滤波器
      • 自回归滑动平均滤波器
    • 根据其单位函数响应分
      • 有限单位响应滤波器FIR ---MA
      • 无限单位响应滤波器IIR ---AR,ARMA
• 离散时间序列的傅里叶变换DTFT
  • 一般信号的DTFT
  • Z变换的公式
    • • 积分路径c是一个包围z平面原点的闭合路径
      • 假设的收敛区间包括单位圆,则可以令c等于单位圆
      • ,从到
  • 离散傅里叶变换公式
    • 离散序列可以分解为一系列幅度为无穷小的离散复正弦序列的和
    • DTFT存在充分必要条件是的收敛区间包含单位圆
    • 连续时间信号的FT存在的充分必要条件是LT的收敛区间包含虚轴
    • 正变换计算出的是一个周期等于的函数，反变换使用到区间中的部分
    • 实际应用，考虑到时间采样信号的取样率DTFT
      • eg:的DTFT
        • • 公比：
          • 时
          • 时
            • • 是一个间隔等于的冲激序列，冲激出现在频率上。
• 离散序列傅里叶级数(DFS)
  • 周期性离散时间序列也可以展开成傅里叶级数,也就是可以展开为一系列正弦或者复正弦信号的和。
  • 分解为N个离散时间序列,分解的复正弦正交子信号集为
• DTFT的性质
  • 1、线性性质
  • 2.时域平移特性
    • 假设
    • 则:
  • 3.频域平移特性
  • 4.频域微分特性
  • 5.序列的反摺特性
  • 6.奇偶虚实性
    • DTFT具有与连续信号傅里叶变换相同的奇偶虚实性
      • 如果是一个实数序列，则的实部或幅度满足偶对称性，虚部或相角满足奇对称性
      • 如果是一个实偶序列，则只有实部，虚部一定等于零。
      • 如果是一个实奇序列，则只有虚部，实部一定等于零。
  • 7.卷积定理
  • 8.帕色伐尔定理
• 离散时间系统频率响应
  • 这里的频率响应是指系统对离散正弦信号或离散复正弦信号的响应。
  • 离散时间系统的频率响应
    • 在复正弦信号的激励下,系统的响应:
      • 系统对复正弦信号的相位和幅度的影响,可以由传输函数在Z平面单位圆上的值确定，其幅频和相频响应分别为
      • 与连续时间系统中的结论中一样其幅频响应是频率的偶函数,相频特性是频率的奇函数，与连续时间系统不同的是，这里的幅频响应函数和相频响应函数都是以为周期的周期性函数
      • 如果考虑到正弦序列是对实际正弦信号，按照取样间隔T取样得到的：,此时的响应：
• 离散时间系统与连续时间系统变换域方法的比较
  • 1.正反变换公式
    • 1.变换公式
      • 连：拉普拉斯变换--单边，双边
      • 离：Z变换 --单边，双边
    • 2.收敛域
      • 右边信号：
        • 连：某平行与虚轴的直线为边界的右半平面
        • 离：某以原点为圆心的圆的外部
      • 左边信号：
        • 连：某平行与虚轴的直线为边界的左半平面
        • 离：某以原点为圆心的圆的内部
      • 双边信号：
        • 某两个平行于虚轴的直线为边界的条状平面
        • 某两个以原点为圆心的圆之间的环状区间
    • 3.反变换计算方法
      • 连：按定义，部分分式分解，留数法
      • 离：按定义，部分分式分解，留数法，常除法
      • 在留数法中：
        • 连：按照约当辅助定理确定围线方向
        • 离：直接计算
  • 2.离散时间系统变换域分析
    • 1、分析方法
      • 分析因果系统对有始信号的响应
        • 连：单边拉普拉斯变换
        • 离：单边Z变换
      • 分析一般系统对双边信号的响应
        • 连：双边拉普拉斯变换
        • 离：双边Z变换
    • 2.关键性质
      • 连：单边拉普拉斯的微分性质
      • 离：单边Z变换的移序性质
    • 3.零状态响应
      • 连：
      • 离：
    • 4.系统函数
      • 连：与微分方程系数直接有关
      • 离：与差分方程系数直接相关
  • 3.傅里叶变换
    • 1.信号的傅里叶变换
      • 连：FT--拉普拉斯变换必须包含虚轴
      • 离：DTFT--Z变换必须包含单位圆
    • 2.周期信号的傅里叶级数
      • 连：FS--分解成无穷个正弦信号的和
      • 离：DFS--分解成有限个正弦信号的和
    • 3.系统的频率特性与频谱
      • 连：--拉普拉斯变换在虚轴上的值
      • 离：--Z变换在单位圆上的值
      • 是频率的周期性函数
    • 4.频响与极零图
      • 连：频率点在S平面虚轴上移动
      • 离：频率点在Z平面单位圆上移动
    • 5.特殊系统
      • 全通系统
        • 连：极点和零点关于虚轴一一对应
        • 离：除了在原点的极零点以外，其他的极零点关于单位圆镜像对称
      • 最小相位系统
        • 连：极点和零点都处于左半平面
        • 离：极点和零点都处于单位圆内
  • 4.系统稳定性
    • 1、稳定性判断
      • 连：绝对可积
        • 系统函数的极点在S平面虚轴以左平面内
      • 离：绝对可和
        • 系统函数的极点在Z平面单位以内
      • 临界稳定
        • 连：除了在左半平面内的极点以外，虚轴上只有单极点
        • 离：除了单位圆内部的极点外，在单位圆上只有单极点
    • 2.判定方法
      • 连：直接求极点，罗斯霍维斯准则
      • 离：直接求极点，双线性变换 --罗斯霍维斯准则