KNN算法详解及实现

KNN算法详解及实现

k近邻法(k-nearest neighbor,k-NN)是一种基本的分类和回归方法,是监督学习方法里的一种常用方法。k近邻算法假设给定一个训练数据集,其中的实例类别已定。分类时,对新的实例,根据其k个最近邻的训练实例类别,通过多数表决等方式进行预测。

k近邻算法用一句通俗的古语来说就是:“物以类聚,人以群分”。你要看一个实例的类别,你就可以看它附近是什么类别。如下图1.1所示,当要判断绿色实例的类别的时候,我们可以看看它的附近有哪些类,然后采取多数表决的决策规则(红色2个多于蓝色1个),于是把绿色实例也分类为红色那一类。
KNN算法详解及实现_第1张图片
k k k近邻法三要素:距离度量 k k k值的选择分类决策规则。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的pL距离。 k k k值小时, k k k近邻模型更复杂,容易发生过拟合; k k k值大时, k k k近邻模型更简单,又容易欠拟合。因此 k k k值得选择会对分类结果产生重大影响。 k k k值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡,通常由交叉验证选择最优的 k k k。分类决策规则往往是多数表决,即由输入实例的 k k k个邻近输入实例中的多数类决定输入实例的类。


距离度量:

设特征空间 x x x n n n维实数向量空间 , x i , x j ∈ X x_{i}, x_{j} \in \mathcal{X} xi,xjX, x i = ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , ⋯   , x i ( n ) ) T x_{i}=\left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, \cdots, x_{i}^{(n)}\right)^{\mathrm{T}} xi=(xi(1),xi(2),,xi(n))T, x j = ( x j ( 1 ) , x j ( 2 ) , ⋯   , x j ( n ) ) T x_{j}=\left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, \cdots, x_{j}^{(n)}\right)^{\mathrm{T}} xj=(xj(1),xj(2),,xj(n))T,则: x i x_i xi, x j x_j xj L p L_p Lp距离定义为:

L p ( x i , x j ) = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ( i ) − x j ( l ) ∣ p ) 1 p L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}^{(i)}-x_{j}^{(l)}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} Lp(xi,xj)=(i=1nxi(i)xj(l)p)p1

  • p = 1 p= 1 p=1 曼哈顿距离
  • p = 2 p= 2 p=2 欧氏距离
  • p = ∞ p= \infty p= 切比雪夫距离

一般采用二维欧氏距离


交叉验证选取 k k k

在许多实际应用中数据是不充足的。为了选择好的模型,可以采用交叉验证方法。交叉验证的基本想法是重复地使用数据,把给定的数据进行切分,将切分的数据组合为训练集与测试集,在此基础上反复进行训练测试以及模型的选择。在实现过程中将采用sklearn.model_selection.cross_val_score()实现交叉验证选取 k k k值。


分类决策规则

knn使用的分类决策规则是多数表决,如果损失函数为0-1损失函数,那么要使误分类率最小即使经验风险最小,多数表决规则实际上就等同于经验风险最小化。


KNN实现

实现K近邻算法时,主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。k近邻法最简单的实现方法是线性扫描,也就是暴力法计算输入实例到每一个训练实例的距离,然后取前k个距离最短的采取多数表决规则进行分类。但是如果训练集的数据量很大时,这种方法就不可行了。为了提高k近邻的搜索效率,可以考虑使用特殊的结构存储训练数据,以减少距离计算的次数,常用的有 k d kd kd k d kd kd tree)树方法。


KNN算法实现

  1. s k l e a r n sklearn sklearn封装KNN方法解析
sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier(n_neighbors = 5,
                       weights='uniform',
                       algorithm = '',
                       leaf_size = '30',
                       p = 2,
                       metric = 'minkowski',
                       metric_params = None,
                       n_jobs = None
                       )

参数如下:

  • n_neighbors:这个值就是指 KNN 中的 “K”了。前面说到过,通过调整 K 值,算法会有不同的效果。
  • weights(权重):最普遍的 KNN 算法无论距离如何,权重都一样,但有时候我们想搞点特殊化,比如距离更近的点让它更加重要。这时候就需要 weight 这个参数了,这个参数有三个可选参数的值,决定了如何分配权重。参数选项如下:
    • ‘uniform’:不管远近权重都一样,就是最普通的 KNN 算法的形式。
    • ‘distance’:权重和距离成反比,距离预测目标越近具有越高的权重。
    • 自定义函数:自定义一个函数,根据输入的坐标值返回对应的权重,达到自定义权重的目的。
  • algorithm:在 sklearn 中,要构建 KNN 模型有三种构建方式,1. 暴力法,就是直接计算距离存储比较的那种放松。2. 使用 kd 树构建 KNN 模型 3. 使用球树构建。 其中暴力法适合数据较小的方式,否则效率会比较低。如果数据量比较大一般会选择用 KD 树构建 KNN 模型,而当 KD 树也比较慢的时候,则可以试试球树来构建 KNN。参数选项如下:
    • ‘brute’ :蛮力实现
    • ‘kd_tree’:KD 树实现 KNN
    • ‘ball_tree’:球树实现 KNN
    • ‘auto’: 默认参数,自动选择合适的方法构建模型
    不过当数据较小或比较稀疏时,无论选择哪个最后都会使用 ‘brute’
  • leaf_size:如果是选择蛮力实现,那么这个值是可以忽略的,当使用KD树或球树,它就是是停止建子树的叶子节点数量的阈值。默认30,但如果数据量增多这个参数需要增大,否则速度过慢不说,还容易过拟合。
  • p:和metric结合使用的,当metric参数是"minkowski"的时候,p=1为曼哈顿距离, p=2为欧式距离。默认为p=2。
  • metric:指定距离度量方法,一般都是使用欧式距离。
    • ‘euclidean’ :欧式距离
    • ‘manhattan’:曼哈顿距离
    • ‘chebyshev’:切比雪夫距离
    • ‘minkowski’: 闵可夫斯基距离,默认参数
  • n_jobs:指定多少个CPU进行运算,默认是-1,也就是全部都算。

属性如下:

  • classes_ : 分类器已知的类别标签,返回ndarray标签数组。
  • effective_metric_ :距离度量,和上述参数中metric参数设定的距离度量一致。
  • effective_metric_params_:指标函数附加的关键字参数,对于大多数距离指标,将会和metric参数相同,但如果effective_metric_params_属性设置为‘minkowski’,那么也可能包含p参数的值。返回的形式是字典。
  • outputs_2d_:训练时当y的形状为(n,)或(n,1),则返回False,否则返回True。

方法如下:

  • fit(X, y):使用X作为训练数据,y作为标签目标数据进行数据拟合训练。
  • get_params([deep]):获取参数组成的字典。
  • kneighbors([X, n_neighbors, return_distance]):找寻一个点的k个邻居。
  • predict(X):根据提供的数据去预测它的类别标签。
  • predict_proba(X):返回测试数据X的概率估计值。
  • score(X, y[, sample_weight]):返回给定数据和标签的平均准确度。
  • set_params(params):设置估值器的参数。

  1. 交叉验证法选取最佳 k k k
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import cross_val_score
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

#加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
x = iris.data
y = iris.target
k_range = range(1, 31) # 设置循环次数
k_error = []
#循环,取k从1~30,查看误差效果
for k in k_range:
    knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=k)
    #cv参数决定数据集划分比例,这里是按照5:1划分训练集和测试集
    scores = cross_val_score(knn, x, y, cv=6, scoring='accuracy')
    k_error.append(1 - scores.mean())

#画图,x轴为k值,y值为误差值
plt.plot(k_range, k_error)
plt.xlabel('Value of K in KNN')
plt.ylabel('Error')
plt.show()

输出如下:
KNN算法详解及实现_第2张图片
由这个图我们可以看出大致在k=11的时候,损失值是最小的,所以我们选择k = 11进行训练。

  1. k n n knn knn实例
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn import neighbors, datasets

n_neighbors = 11

# 加载鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
# 选择其中的两个特征
X = iris.data[:, :2]
y = iris.target

h = .02 # 网格步长

# 创建色彩图
cmap_light = ListedColormap(['orange', 'cyan', 'cornflowerblue'])
cmap_bold = ListedColormap(['darkorange', 'c', 'darkblue'])

# 在两种权重下绘制图像
for weights in ['uniform', 'distance']:
	# 创建knn分类器实例, 并进行训练拟合
	clf = neighbors.KNeighborsClassifier(n_neighbors, weights = weights)
	clf.fit(X,y)

	 # 绘制决策边界
	x_min, x_max = X[:,0].min() - 1, X[:,0].max() + 1
	y_min, y_max = X[:,1].min() - 1, X[:,1].max() + 1
	xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
						 np.arange(y_min, y_max, h))
	Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
	
	Z = Z.reshape(xx.shape)
	plt.figure()
	plt.pcolormesh(xx, yy, Z, cmap = cmap_light)

	# 绘制训练点
	plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c = y, cmap = cmap_bold, edgecolor='k', s=20)
	plt.xlim(xx.min(), xx.max())
	plt.ylim(yy.min(), yy.max())
	plt.title('3-Class classification (k = %i, weights = "%s")' % (n_neighbors, weights))

plt.show()

输出如下:
KNN算法详解及实现_第3张图片
KNN算法详解及实现_第4张图片


KNN总结

KNN算法优点:

  • 简单易用,相比其他算法,KNN算是比较简洁明了的算法。即使没有很高的数学基础也能搞清楚它的原理。
  • 模型训练时间快,上面说到KNN算法是惰性的,这里也就不再过多讲述。
  • 预测效果好。
  • 对异常值不敏感

KNN算法缺点:

  • 对内存要求较高,因为该算法存储了所有训练数据
  • 预测阶段可能很慢
  • 对不相关的功能和数据规模敏感

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