矩阵相关定理定义归纳

（下图这种表示方法 在证明很多定理的时候很有用）

矩阵ij元素的数学公式表示.png

矩阵基本运算

矩阵基本运算1.png

矩阵基本运算2.png

矩阵与线性方程式
定义：
1)下图公式中 向量(x,y,z)左侧的矩阵称为系数矩阵，右侧的向量称为常向量
2)如果常向量的每一个元素都为0，则称这个线性方程式是齐次的，否则就是非齐次的。
3)对线性方程组进行初等变换(交换两个方程的位置、用一个非零数乘某一个方程、把一个方程的倍数加到另一个方程上)，不会改变线性方程组的解即不会改变向量(x,y,z)的值。

线性方程式可以用矩阵来表示.png

阶梯型矩阵、最简阶梯形矩阵(reduced form)
线性方程组经过初等行变换约减之后会得到三种解的情况：唯一解、多个解和无解。
分别如图：

唯一解.png

无解.png

无数个解.png

逆矩阵
1)一个矩阵的某一行或者某一列上的元素如果全为0则这个矩阵是不可逆的。

逆矩阵定义.png

一个矩阵是可逆的当且仅当它的逆矩阵是可逆的.png

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利用初等变换求一个矩阵的逆矩阵( 高斯约当消元法)
1）首先构造一个nx2n的矩阵（在原矩阵的右边加一个单位矩阵）；
2）利用初等行变换，将左侧消元到单位矩阵，则逆矩阵即为右边的那个矩阵。

高斯约当消元法.png

高斯约当消元法的理论基础.png

一个nxn的矩阵M是可逆的当前仅当M的行形成一个线性无关的向量集合.png

行列式
1)行列式是一个标量

行列式的表示.png

初等行变换与行列式的关系.png

拥有完全相同两行的矩阵的行列式是0.png

一个矩阵M是可逆的当且仅当M的行列式不等于0.png

行列式公式1.png

利用行列式求逆矩阵的公式.png

特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义.png

矩阵的特征多项式的定义/特征多项式的根为矩阵的特征值.png