一维下料问题的研究

一、概念

下料：有若干规格的原材料，要切割成一批若干规格的零件，确定一种切割方式，使得原材料用料最少、产生的废料最少。

一维下料：上面提到的规格，可以包含很多属性，比如：长度、宽度、厚度等等。所谓一维下料，只关注其中一种属性，而其它属性被认为全部相同，这样便大大降低了下料问题的处理难度。本文研究的一维下料，以长度作为优化目标。

二、术语定义

原料：用于切割的原材料，长度不定。

零件：从原料中切割下来的短料。

废料：一根原料被使用后，剩余长度无法再用于生产任意零件。一般定义为阈值。

余料：一个原料被使用后，剩余材料仍然可以在后续生产中进行零件切割。

三、问题描述

现有N段长度不等的原料（当然，也可以全部长度相等或者其中一部分长度相等），现需要切割为M段长度不等的零件，生成一种切割方案，使产生的废料最少（阈值）、若必须要产生余料应使余料大于指定长度（阈值）以便余料再利用。

四、解决方案

1）穷举法

当原料和零件数量很小时，穷举法可以对所有切割方案进行穷举遍历，寻找最优解。但是如果原料和零件数量达到一定量后，穷举法时间复杂度成指数级增长，计算机无法算出结果。这里给一些定量的概念，比如从零件的角度穷举，M=20时，穷举数量级为1,048,576，M=30时，穷举数量级为1,073,741,824。即时间复杂度为O(2^M)，隐藏零件数量到达20以上时，就变成了无法完成的任务。

2）遗传算法

百度搜索“一维下料 遗传算法”，会得到非常多的相关论文搜索结果。遗传算法以进化论为依据，当种群进化若干代后，便会得到一个相对精英的种群。将一维下料问题转化为遗传算法模型如下：

a）染色体：a1,a2,a3......am，表示第m个零件在第am根原料上截取；

b）种群初始化：初始化x个可行染色体种群

c）交叉算子：按交叉概率，对染色体进行两两交叉，注意不要交叉出无效染色体

d）变异算子：按变异概率，对染色体中的基因进行剔除并变异，注意不要变异出无效染色体

e）选择算子：采用锦标赛算法或轮盘赌算法，对优秀染色体进行选择

f）适应度函数：根据优化目标设计适应度函数，一般从利用率、废料率角度设计

遗传算法能对下料方案有一定程度的优化，但是优化不明显，或许是哪个算子设计不合理、或者参数没有调到合适的值。（注：相关的论文中，结果数据非常优秀，但本人无法调出那么优秀的方案，所以对有些论文报怀疑态度）。

3）动态规划

一维下料的核心，其实可以对接背包问题，而动态规划实际上是一种解背包问题的其中一种算法。看了几个论文资料，算法没看太懂，暂没时间做实验，不做评价。

4）自研算法

涉及到商业上的问题，不便多说，但整体思路是模拟人工的操作。一般一个工人，拿到一组原料和一组零件规格后，只要给足够的时间，总能设计出一些比较优秀的方案，而此算法正是模拟这个过程。

五、总结

算法的东西，需要深入研究，但是不能一味的陷进去，有时候换个思路，可能得到意想不到的效果。大道至简才是精髓。

最后，放上一个测试链接，有兴趣的欢迎交流：http://106.53.17.139:8088/demo/

下面贴一组数据：

方案1：
余    0，排样规则：2234=2234
余   37，排样规则：2676=2639
余   12，排样规则：2777=2765
余   38，排样规则：2964=2926
余    1，排样规则：3062=1518+1543
余   16，排样规则：3134=3118
余    2，排样规则：3472=3470
余    8，排样规则：3513=3505
余    7，排样规则：3574=1690+1877
余   14，排样规则：3577=1947+1616
余    8，排样规则：3972=1747+2217
余    8，排样规则：3996=3988
余    3，排样规则：4064=2028+2033
余    3，排样规则：4212=2567+1642
余    0，排样规则：4496=2759+1737
余    2，排样规则：4541=2183+2356
余    0，排样规则：4550=2632+1918
余    0，排样规则：4765=2918+1847
余    1，排样规则：4850=4849
余    6，排样规则：4902=2714+2182
余    5，排样规则：5869=3076+2788
余    3，排样规则：5972=3654+2315
余    1，排样规则：6135=3249+2885
余    0，排样规则：6209=3794+2415
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余    2，排样规则：8567=4698+3867
余    1，排样规则：8904=5174+3729
余    1，排样规则：9975=2390+2552+2751+2281
余    0，排样规则：10729=3757+3195+3777
余    1，排样规则：11176=4688+4019+2468
余    0，排样规则：11338=5213+3756+2369
余    2，排样规则：11561=3520+4546+3493
余    0，排样规则：11571=2290+4000+5281
余    2，排样规则：12140=3862+4399+2084+1793
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余    0，排样规则：15155=3852+5336+3706+2261
余    0，排样规则：15196=5079+2919+4830+2368
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余    1，排样规则：15480=2890+4757+5090+2742
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余    2，排样规则：16525=3363+4639+5489+3032
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余    2，排样规则：16719=5783+3481+4413+3040
余    7，排样规则：16736=3907+5722+3463+3637
余    3，排样规则：16764=5686+5473+5602
余 3854，排样规则：16793=4223+4454+4262
余 3506，排样规则：20185=5451+5705+5523

方案2：
余    0，排样规则：2234=2234
余   37，排样规则：2676=2639
余   12，排样规则：2777=2765
余   38，排样规则：2964=2926
余    1，排样规则：3062=1543+1518
余   16，排样规则：3134=3118
余    2，排样规则：3472=3470
余    8，排样规则：3513=3505
余    7，排样规则：3574=1877+1690
余   14，排样规则：3577=1947+1616
余    8，排样规则：3972=2217+1747
余    8，排样规则：3996=3988
余    3，排样规则：4064=2033+2028
余    3，排样规则：4212=2567+1642
余    0，排样规则：4496=2759+1737
余    2，排样规则：4541=2356+2183
余    0，排样规则：4550=2632+1918
余    0，排样规则：4765=1847+2918
余    1，排样规则：4850=4849
余    7，排样规则：4902=2742+2153
余    0，排样规则：5869=3687+2182
余    0，排样规则：5972=3907+2065
余    1，排样规则：6135=3249+2885
余    0，排样规则：6209=3794+2415
余    0，排样规则：7807=2822+3040+1945
余    2，排样规则：8567=5489+3076
余    1，排样规则：8904=2701+4118+2084
余    0，排样规则：9975=3296+4398+2281
余    1，排样规则：10729=5164+5564
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余    3，排样规则：11338=5312+2369+3654
余    0，排样规则：11561=3757+5336+2468
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余    0，排样规则：12140=4096+5783+2261
余    1，排样规则：12613=2890+5722+4000
余    1，排样规则：13086=3170+3195+3493+3227
余    0，排样规则：13423=4546+3862+1793+3222
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余    1，排样规则：15155=4870+3481+4413+2390
余    0，排样规则：15196=5414+2527+4223+3032
余    0，排样规则：15330=5634+5425+4271
余    0，排样规则：15440=3609+3867+5213+2751
余    1，排样规则：15480=4688+2788+5451+2552
余    0，排样规则：15688=4214+3520+5157+2797
余    3，排样规则：15733=5726+4830+5174
余    0，排样规则：15825=3463+4262+4737+3363
余    2，排样规则：16118=2714+4713+5052+3637
余    9，排样规则：16525=3729+4019+4639+4129
余    1，排样规则：16676=5686+3417+4653+2919
余   36，排样规则：16719=5587+5705+5391
余    0，排样规则：16736=4399+3852+4454+4031
余 3565，排样规则：17866=4678+4698+4925
余 3508，排样规则：18958=5281+5090+5079
余 3529，排样规则：20185=5473+5602+5581

方案3：
余    0，排样规则：2234=2234
余   37，排样规则：2676=2639
余   12，排样规则：2777=2765
余   38，排样规则：2964=2926
余    1，排样规则：3062=1543+1518
余   16，排样规则：3134=3118
余    2，排样规则：3472=3470
余    8，排样规则：3513=3505
余    7，排样规则：3574=1690+1877
余   14，排样规则：3577=1947+1616
余    8，排样规则：3972=2217+1747
余    8，排样规则：3996=3988
余    3，排样规则：4064=2028+2033
余    3，排样规则：4212=2567+1642
余    0，排样规则：4496=2759+1737
余    2，排样规则：4541=2183+2356
余    0，排样规则：4550=2632+1918
余    0，排样规则：4765=2918+1847
余    1，排样规则：4850=4849
余    6，排样规则：4902=2714+2182
余    5，排样规则：5869=3076+2788
余    0，排样规则：5972=3907+2065
余    2，排样规则：6135=2281+3852
余    0，排样规则：6209=3794+2415
余    1，排样规则：7807=5722+2084
余    3，排样规则：8567=4372+2247+1945
余    2，排样规则：8904=4688+4214
余    0，排样规则：9975=5336+4639
余    0，排样规则：10729=5473+3463+1793
余    0，排样规则：11176=3654+2390+2390+2742
余    0，排样规则：11338=2797+2751+3637+2153
余    1，排样规则：11561=4653+3040+3867
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余    0，排样规则：12613=2701+4129+3493+2290
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余    0，排样规则：14836=5414+4031+5391
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余   32，排样规则：16914=5705+5451+5726
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余 3664，排样规则：19492=5052+5090+5686

方案4：
余    0，排样规则：2234=2234
余   37，排样规则：2676=2639
余   12，排样规则：2777=2765
余   38，排样规则：2964=2926
余    1，排样规则：3062=1518+1543
余   16，排样规则：3134=3118
余    2，排样规则：3472=3470
余    8，排样规则：3513=3505
余    7，排样规则：3574=1877+1690
余   14，排样规则：3577=1947+1616
余    8，排样规则：3972=2217+1747
余    8，排样规则：3996=3988
余    3，排样规则：4064=2033+2028
余    3，排样规则：4212=2567+1642
余    0，排样规则：4496=2759+1737
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方案5：
余    0，排样规则：2234=2234
余   37，排样规则：2676=2639
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余    1，排样规则：3062=1518+1543
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方案6：
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