《算法图解》读书笔记-05

第四章：图的搜索

要研究图的搜索，首先要讲清楚什么是图；你可以理解为：图就是顶点和顶点之间连接的集合；

比如全国的铁路线网，我们将车站抽象为顶点，将连接车站的铁路抽象为车站之间的连接，如果有一套寻路算法，我们就能轻松得知从A车站到B车站怎么走最近，同时还能得知要怎么换乘；

图中顶点之间的连线是可以有权重的(比如车站之间每条铁路的长度不同)，连接也可以是单向的(就像生活中的单行道)；

根据搜索的策略不同，有广度优先搜索和深度优先搜索；

广度优先搜索和深度优先搜索

所谓广度优先，和深度优先相反；指的是尽可能同时涉猎尽可能多的路径，提高搜索的广度；比如搜索一个堆时，广度优先搜索会逐层遍历搜索，而深度优先搜索会一条路走到黑，每次只访问一个分支直到遇到死角，再返回最近的没有死角的上一级继续搜索；

下面我们基于这张图来详细讲讲两种搜索方式的区别：

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

如果使用广度优先搜索，则搜索的顺序是：

1. a
2. b,c,d
3. e,f,h,i,j
4. k,g,l

如果使用深度优先搜索，则搜索的顺序是：

1. a,b,e,k
2. f
3. c,h,j
4. d,i
5. j,l

贝尔曼-福特算法

这是一个寻路算法；下面是一个闭环的图，我们将尝试使用这个算法在下面的图中进行寻路；

a

b

c

e

d

f

g

贝尔曼-福特算法的逻辑是：

• 每条连接两个节点的路径都有权重，节点拥有自己的“值”，表示从起点到该节点的距离；算法开始执行时，起点的值为0，其它节点全部为正无穷；节点的值会随着算法的进行不断更新；
• 某个节点的值由路径另一端的节点加上路径的权重影响；如果相加的值小于节点的值，则将节点值更新为这个值，否则不变；
• 循环执行确认节点值的操作，直到所有节点的值都不再更新为止；

算法执行完毕后我们得到了一张标注了每个节点的权重的值，从起点开始每一步都选择最小的节点作为下一步的方向，就能获得从起点到终点的最短距离；

你可能会问：现在知道最短距离了，但是我怎么确定最短路径呢？

实际上路径也是在寻路算法的运行过程中确定的；每个节点值都来自一条路径，这条最后更新了节点值的路径就是激活路径，在寻找最短路径时未激活路径将不被考虑；从终点开始，一步步选择值降低的节点，就可以回溯到起点，经过的路径也就是从起点到重点的最短路径；

设图的定点数为n，边数为m，时间复杂度是$O(nm)$;但这种算法的问题是：没有办法计算含有非正值权重的图；

狄克斯特拉算法

迪克斯拉特算法也在开始的时候将起点设置为0，将其它所有点设置为正无穷；但两者寻路的部分逻辑有所不同，带来的直观不同就是狄克斯特拉算法可以处理含权重0和负数路径的图；

狄克斯特拉寻路算法的逻辑是：

• 将顶点下游激活为待选择顶点，并尝试更新更新权重
• 选择权重最小的待选择顶点作为新的顶点
• 持续进行这个过程直到所有顶点都被遍历为止

接下来我们得到了一幅激活路径并计算过权重的图，像贝尔曼福特那样回溯算法，就可以找到从起点到任意终点的路径了；

迪克斯拉特寻路算法的时间复杂度是$O(n^2)$，当顶点数为n路径数为m时；

当一个图中存在负数路径时，理论上讲这个图不存在最短路径；贝尔曼-福特算法能直接发现没有最小值，但狄克斯特拉算法会计算出一个错误的结果；