python演示，用经验分布逼近总体精确分布

 经验分布定义为,

表示样本值，不大于任意实数x的样本个数，n表示样本总量。

根据格力文科定理，对于任意的实数x，当样本量足够大的时候，统计量与总体分布的函数值之间只有很小的差距，在实际上可以当做总体分布来使用。

设  是来自以 为分布函数的总体 的样本， 是经验分布函数，则有

 

对于固定的x,经验分布的 数学期望  是  总体分布。 

现在假设有200个球，分别标上了数字-100到+100 ，没有标零；现在，再取特定的x=0，每一次从200个球中抽取一个球，相应的数字要么小于零，要么大于零，数字小于零的概率是0.5，大于0的概率也是0.5。

大于零用0表示，小于零用1表示，这件事随机的，用X表示该随机变量，那么，X是一个服从两点分布的随机变量；这里为了保证是来自同一总体，必须是放回抽样。那么现在重复做20次这样的实验，就成了20重伯努利试验，因此在20次试验中，抽到小于零的球的个数 是随机变量，服从n=20,p=0.5的 二项分布。于是

对于特定的x，任意一次抽样所得样本X1 要么比x大，要么比x小，比x小的概率为F（x），即是小或大这件事服从0，1分布；现在抽样n次，得到n个样本，因此小于x的个数s（x） 服从二项分布;于是

import numpy as np 
import time
import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib.mlab as mlab
from scipy.stats import norm
def caculate(len):
	#产生正态随机样本
	len = len #样本数量
	mu = 5
	sigma = 3
	np.random.seed(int(time.time()))
	s =lambda: np.random.normal(mu, sigma, len )
	samples=s()

	# 计算经验分布
	smax,smin=samples.max(),samples.min()
	listx=np.arange(smin,smax+0.1,0.05)
	count=lambda x:((samples<=x)*1).sum()
	fa=[count(i) for i in listx]
	faofn=np.array(fa)/len
	
	# 计算精确分布
	q=[norm.cdf((i-mu)/sigma) for i in listx]
	# 在同一幅图中展示图像
	return listx,faofn,q
if __name__ == '__main__':
	num=400
	listx,faofn,q=caculate(num)
	plt.subplot(221)
	# 经验分布
	plt.plot(listx,faofn)
	plt.plot(listx,q)
	plt.title('num of Samples:'+str(num))
	# 精确分布
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))

	num=800
	listx,faofn,q=caculate(num)
	plt.subplot(222)
	plt.plot(listx,faofn)
	plt.plot(listx,q)
	plt.title('num of Samples:'+str(num))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))
	num=1800
	listx,faofn,q=caculate(num)
	plt.subplot(223)
	plt.plot(listx,faofn)
	plt.plot(listx,q)
	plt.title('num of Samples:'+str(num))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))
	num=10000
	listx,faofn,q=caculate(num)
	plt.subplot(224)
	plt.plot(listx,faofn)
	plt.plot(listx,q)
	plt.title('num of Samples:'+str(num))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(faofn)/np.diff(listx))
	plt.plot(listx[:-1],5*np.diff(q)/np.diff(listx))
	plt.show()

 从上图的精确分布和经验分布可以看出，当样本量比较小的时候，经验和总体分布的拟合较差！随着样本量的上升，经验分布和精确分布几乎重合，这就验证了当样本量足够大时，经验分布和总体分布几乎相同。

从上图的经验概率密度和精确概率密度曲线我们可以看出，经验分布密度   在一个特定点处函数值在精确分布分布密度曲线上下波动，有时候处于上方有时候处于下方，具有随机性，但总的趋势和精确分布是相吻合 。到底是位于上方还位于下方，这个服从两点分布，两点分布的p参数能算出来吗？请在评论区留言