数字信号处理--FFT与蝶形算法--学习笔记

数字信号处理–FFT与蝶形算法

FFT是DTF的一种快速算法,利用了旋转因子的特效对DFT进行了化简,大大的减少了计算量.

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旋转因子的特性

  • 对称性
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  • 周期性
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  • 可约性
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  • 推论
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基-2 FFT算法推导

1.将序列分解成奇数序列和偶数序列.

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2.化简

  • 将N个元素的序列拆分为两个N/2个元素的序列
  • 将旋转因子的指数的分子和分母同时除以2
  • 将第二项的旋转因子抽出,使旋转因子指数相同
  • 化简后的式子k的取值范围为0~(N/2)-1,因为取值超过(N/2)-1会超出分解后的序列长度
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    在这里插入图片描述数字信号处理--FFT与蝶形算法--学习笔记_第4张图片
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3.计算后半序列(N/2)

为了计算N/2之后的序列,使k+(N/2)
后半序列和前半序列的值相等,但旋转因子的符号不同,化简过程中利用了旋转因子的特性.
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参考

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蝶形运算式

综合以上推导我们可以得到如下结论:一个N点的DFT变换过程可以用两个N/2点的DFT变换过程来表示
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8点DFT的4点分解

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8点DFT的2点分解

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参考文献:
https://www.cnblogs.com/luoqingyu/p/5930181.html
https://max.book118.com/html/2019/0107/8116053027002000.shtm

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