数据结构与算法（C++）– 二叉查找树（Binary Search Tree ）

数据结构与算法（C++）– 二叉查找树（Binary Search Tree ）

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1、二叉查找树（BST）

定义： 假设二叉树的节点都是不同的数，对于树点的任一节点，它的左子树都小于它，它的右子树都大于它。

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2、二叉查找树的操作

插入： 从根节点开始比较，小于节点则往左比较，大于节点则往右比较。

void Insert(BinaryTree * &tree, int data)
{
    if(NULL == tree)
    {
        tree = new BinaryTree;
        tree->data =data;
        tree->leftChild = NULL;
        tree->rightChild = NULL;
    }
    else if(tree->data > data)
    {
        Insert(tree->leftChild, data);
    }
    else if(tree->data < data)
    {
        Insert(tree->rightChild, data);
    }
}

查找最大最小值： 最左边为最小值，最右边为最大值

// 找最小值, 最左边
int findMin(BinaryTree * tree)
{
    if(NULL == tree)
        return -1;
    else if(tree->leftChild == NULL)
        return tree->data;
    else
        return findMin(tree->leftChild);
}

// 找最大值，最右边
int findMax(BinaryTree * tree)
{
    if(NULL == tree)
        return -1;
    else if(tree->rightChild == NULL)
        return tree->data;
    else
        return findMax(tree->rightChild);
}

删除：删除完节点后，需要从右子树中查找最小值填补。

void Remove(BinaryTree * &tree, int data)
{
    if(NULL == tree)
        return;

    if(data > tree->data)
        Remove(tree->rightChild, data);
    else if(data < tree->data)
        Remove(tree->leftChild, data);
    // 如果不符合前两种情况则为=
    // 如果左右子树都不为空，则选择右子树最小的值填补当前节点并在右子树删除它
    else if(tree->rightChild && tree->leftChild)
    {
        tree->data = findMin(tree->rightChild);
        Remove(tree->rightChild, tree->data);
    }
    // 如果左右子树至少有一个为空
    else
    {
        BinaryTree *node = tree;
        // 左边不为NULL则把指针指向左边，反之
        tree = (tree->leftChild) ? tree->leftChild : tree->rightChild;
        delete node;
        node = NULL;
    }
}

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3、AVL 树

定义： AVL 树是一种带有平衡条件的特殊二叉搜索树，平衡条件是任一节点的左子树和右子树的高度相差不能超过1。空树的高度是-1。

• AVL树的最大高度大概为1.44log(N + 2) − 1.328，实际只略大于logN。
• 除了插入和删除，AVL数的各种操作的时间复杂度为O(logN) 。

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4、平衡AVL树

当按照BST的方式插入新的节点后，可能使AVL树不平衡，需要进一步的操作来平衡。

单旋转：旋转一次、分为左旋转和右旋转

• 右旋转：
  
  
• 左旋转
  
  

双旋转： 旋转两次、分为左-右旋转和右-左旋转

• 右-左旋转
  
  
• 左-右旋转
  

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5、B树

定义：
对于大数据量，为了减少对磁盘的访问，设计了M叉查找树，内存只存指示关键字，把数据存在硬盘。5阶B树如下：

M阶B树的特性：

• M叉树的高度大概为 logM(N)
• L为树叶的数据项个数

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