第十一届山东省大学生程序设计竞赛 补题

B.Build Roads

题意： 给定一个$n$个点的无向完全图，$i$和$j$之间的边权是$\gcd (a_i,a_j)$，保证数组$a$随机，求$\text{MST}$
分析： 如果有点权为素数$p$，$\forall x\in R,\gcd (p,x)=1$，所以如果找到素数，就以素数的点为中心，与其他点建立$n-1$条边，这样$\text{MST}$的最小值为$n-1$。int范围内的素数间距最小间距不到几百，所以在$n\le 1000$时直接暴力，$n>1000$时输出$n-1$。
另外，如果$L=R$，则输出$L\ast (n-1)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const int N=2e5+5;
ULL seed,n,L,R,a[N],res;
ULL xorshift64(){
     
    ULL x=seed;
    x^=x<<13;
    x^=x>>7;
    x^=x<<17;
    return seed=x;
}
int gen(){
     
    return xorshift64()%(R-L+1)+L;
}
int main(){
     
    cin>>n>>L>>R>>seed;
    if(L==R) cout<<L*(n-1)<<endl;
    else if(n<=1000){
     
        vector<ULL> x;
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gen();
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                x.push_back(__gcd(a[i],a[j]));
        sort(x.begin(),x.end());
        for(int i=0;i<n-1;i++) res+=x[i];
        cout<<res<<endl;
    }
    else cout<<n-1<<endl;
}

C.Cat Virus

题意： 给定一棵树，黑白染色方案，满足一个黑点的子树都是黑点，白点任意。你现在构造一棵树，使得它的染色方案数为$K$。
分析： 首先一个节点必定有全黑的方案，所以就可以转移到子树节点的方案数，如果$K$为奇数，那么这个节点连接一个左儿子，一个右儿子，然后$K/2$。如果$K$为偶数，直接连一个右儿子，使$K-1$变为奇数。注意特判$K=3$的情况。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL k;
int main(){
     
    cin>>k;
    LL fa=1,id=1,tmp=k,cnt=1;
    while(tmp>3){
     
        if(tmp&1){
     
            tmp/=2;
            cnt+=2;
        }
        else{
     
            tmp--;
            cnt++;
        }
    }
    if(tmp==3) cnt++;
    cout<<cnt<<endl;
    while(k>3){
      
        if(k&1){
     
            k/=2;
            id++;
            cout<<fa<<" "<<id<<endl;
            id++;
            cout<<fa<<" "<<id<<endl;
            fa=id;
        }
        else{
     
            k--;
            id++;
            cout<<fa<<" "<<id<<endl;
            fa=id;
        }
    }
    if(k==3){
     
        id++;
        cout<<fa<<" "<<id<<endl;
    }
}

D.Dyson Box

题意： 二维空间里放了个$n$盒子，有水平往左和竖直往下两种重力，求重力作用之后形成的轮廓周长。
分析： 模拟。每次放的方块对答案贡献是$4$，如果这行（列）被放过方块，那么答案$-2$，如果移动之后相邻的方块被放置过，那么答案也分别$-2$，只需要记录每次的高度再判断一下相邻就可以。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
typedef long long LL;
LL n,x,y,res1,sx1[N],sy1[N],res2,sx2[N],sy2[N];
int main(){
     
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        cin>>x>>y;
        res1+=4;
        if(sx1[x]) res1-=2;
        else sx1[x]=1;
        sy1[x]++;
        if(sy1[x-1]>=sy1[x]) res1-=2;
        if(sy1[x+1]>=sy1[x]) res1-=2;
        res2+=4;
        if(sy2[y]) res2-=2;
        else sy2[y]=1;
        sx2[y]++;
        if(sx2[y-1]>=sx2[y]) res2-=2;
        if(sx2[y+1]>=sx2[y]) res2-=2;
        cout<<res1<<" "<<res2<<endl;
    }
}

G.Grade Point Average

题意： 输出$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{n}$，保留小数点后$k$位（直接截断后面的）
分析： 模拟除法。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,k,x,sum;
int main(){
     
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        cin>>x;
        sum+=x;
    }
    cout<<sum/n<<".";
    sum%=n;
    while(k--){
     
        cout<<sum*10/n;
        sum*=10;
        sum%=n;
    }
}

Ｈ.Adventurer’s Guild

题面： $\text{Yuna}$ 的生命值是$H$，体力值是$S$，有$n$个任务，每个任务有生命值和体力值的花费。生命值不能降到$0$或$0$以下，体力值的多余消耗会算到生命值里。求最大任务收益。

分析：　二维费用背包板子题，状态转移方程：
$$\{\begin{array}{llc}dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-h[i]+k-s[i]][0]+w[i]),\text{if }k-s[i]<0& and& j-h[i]+k-s[i]\le 0\\ dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-h[i]][k-s[i]]+w[i]),\text{else}& & \end{array}$$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1010,M=305;
LL n,H,S,h[N],s[N],w[N],dp[M][M];
int main(){
     
    cin>>n>>H>>S;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i]>>s[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        for(int j=H;j>h[i];j--){
     
            for(int k=S;k>=0;k--){
     
                if(k-s[i]<0){
     
                    if(j-h[i]+k-s[i]<=0) continue;
                    dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-h[i]+k-s[i]][0]+w[i]);
                }
                else{
     
                    dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-h[i]][k-s[i]]+w[i]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[H][S]<<endl;
}

M.Matrix Problem

题意： 给定$0/1$矩阵$C$，构造两个矩阵$A,B$，其中$1$形成了完整的不分散的一块四连通块，并且对于$C$中所有位置，若是$1$，则$A,B$对应位置必须都是$1$，否则$A,B$之中必须有一个这个位置为$0$。保证$C$阵的边框都是$0$。
分析： 思维题。$A$最左边一列是$1$，$B$最右边一列是$1$，然后行分奇偶全染成$1$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505;
char c[N][N],a[N][N],b[N][N];
int n,m;
int main(){
     
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>c[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
     
        for(int j=0;j<m;j++){
     
            if(c[i][j]=='1') a[i][j]='1';
            else a[i][j]='0';
            if(i%2==0&&j<m-1) a[i][j]='1';
            if(!j) a[i][j]='1';
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
     
        for(int j=0;j<m;j++){
     
            if(c[i][j]=='1') b[i][j]='1';
            else b[i][j]='0';
            if(i%2==1&&j) b[i][j]='1';
            if(j==m-1) b[i][j]='1';
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<b[i]<<endl;
}