同济高等数学第七版1.8习题精讲（续）

6.证明：若函数在点连续且,则存在的某一邻域，当时，。

解：不妨假设.函数在点连续，所以。根据极限保号性，必然存在,使得。当时，。即。

7.设

证明：(1)在连续；(2)在非零的 处都不连续。

证明：(1)根据极限的定义证明。对于任意的,总存在,为了说明方便，设.当时，.故,即在处连续。

(2)证明在非零的 处都不连续。只要证明出极限值不等于函数值之类的就可以。同时请注意，下面的语言仅仅帮助大家理解。并非严格的证明。

假设非零的 处是有理数,分别取一有理数列无限接近于，则该数列的极限趋向于且并不等于0.而取一无理数列无限接近与于，则该数列的极限趋向于且等于0.所以极限不存在，也就不能连续了。

假设非零的 处是无理数,同理极限不存在。所以无法连续。

8.试举出具有以下性质的函数的例子：

是的所有间断点，且都是无穷间断点。

解：