维度·数学漫步_01 二维空间

地理与几何学都涉及对地球的研究，地理学用来描绘地球，几何学则涉及对它的测量，地球是近似球状的，现在，我们忽略地球在两极是略微扁平的，而假设它是一个完美的球体，向大家说明说明什么是二维

首先，我们都知道球心到球面上任何一点的长度都是相通的，然后，选择一条穿过球心的轴线（穿过北极和南极），若我们沿着轴线像切西瓜瓣似的切割球面，就会得到经线的轮廓；若对着轴线平切球面，我们将得到许多圆周，称之为纬线，于是，整个球面就被经线和纬线，这两簇网状曲线所覆盖，而我们地球上的每一个点都可以用经纬线的数值来确定，因此，我们可以说球面是二维的，数学家们通常称它为 S2

红色角度为经度，绿色角度为纬度

假设现在，我们离开地球来到太空，为了准确知道我们的位置，就需要使用三个数值，即：经度、纬度和在地球上方的高度，由于需要三个数字确定外层空间的位置，所以我们说空间是三维的

现在，我们来谈谈地图是怎么绘制的吧，一种方法就是把地球投射到一个平面上，首先我们可以选择一座城市，如 “Dakar”，再画出连接北极和这座城市的直线，这条直线穿过桌面上的另一点，就称为城市 “Dakar” 的投影

城市Dakar投影

地球上任何一点都可以被投射到桌面上，这些点离北极越近，它的投影就越远，而北极是没有投影的，或者说，它的投影在无穷远处，整个地球，除了北极之外，都可以在桌面上被表示出来，这张出现在桌面的地图，则称为球极投影

球极投影

但这个投影并没有保持原来的尺寸，例如，与北美洲相比，南美洲就显得非常渺小了

南北美洲

为了方便大家理解这个投影，我们让地球滚动起来，并且总是从最高点向桌面投射，于是，我们就可以看到大陆的投影会先逐渐放大，然后再慢慢变小，但其实，它们的“形状”并没有发生改变，这里的“形状”并不是指精确意义上的形状，而是指映射前后的点的相互关系并没有改变，只是长度有所变化，因此我们说球极投影是一种保形映射

保形映射

如果我们再把经线和纬线铺展开，当地球滚动时，就可以看到它们总是投射为圆或者直线，由此，我们可以知道球极投影能把画在球面上的圆变换为画在平面上的圆，而那些经过至高点的圆，它们的投影就会变成一些直线

经线和纬线

现在让我们去掉球，从桌面底部观看同样的运动，我们可以看到这些经纬线形成了两簇圆，所有的经线都交汇在南极和北极两点

桌面底部 01

桌面底部 02

桌面底部 03

到此结束我们迈向四维空间的第一步