卡特兰数问题

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卡特兰数 - http://lanqi.org/skills/10939/

数值

C0 = 1,         
C1 = 1,         C2 = 2,          C3 = 5,          C4 = 14,          C5 = 42,
C6 = 132,       C7 = 429,        C8 = 1430,       C9 = 4862,        C10 = 16796,
C11 = 58786,    C12 = 208012,    C13 = 742900,    C14 = 2674440,    C15 = 9694845,
C16 = 35357670, C17 = 129644790, C18 = 477638700, C19 = 1767263190, C20 = 6564120420, ...

公式

• 通项公式一： $C_n=\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}$

• 通项公式二：$C_n=\frac{1}{n+1}{\sum }_{i=0}^n{\left(C_n^i\right)}^2$

• 递推公式一：$C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$

• 递推公式二：$C_{n+1}=C_0\times C_n+C_1\times C_{n-1}+\dots +C_{n-1}\times C_1+C_n\times C_0$

• 增长速度：$\Delta C_n\sim \frac{4^n}{n^{\frac{3}{2}}\times \sqrt{\pi }}$

通项公式一

• 设由n+1个 -1 和 n-1个 +1 (或者：n+1个 +1 和 n-1个 -1 )组成长度为2n的序列A。所有的可能数量a₁
  $$a_1=\frac{(2n)!}{(n+1)!\times (n-1)!}$$

• 设由n个 +1 和 n个 -1 组成长度为2n的序列B。序列B若满足“前任意项的和不小于0”，则称该序列为合法序列，否则称非法序列。

  • 所有非法的序列可能数量b₁
    $$b_1=a_1=\frac{(2n)!}{(n+1)!\times (n-1)!}$$
  • 所有合法的序列可能数量b₂
    $$b_2=\frac{(2n)!}{n!\times n!}-b_1=\frac{1}{n+1}\times \frac{(2n)!}{n!\times n!}=\frac{1}{n+1}\times C(2n,n)$$

• 为什么 b₁ = a₁ ？

  • 对A序列和非法B序列，前若干项和第一次小于0的位置只能是1、3、5、……、2n-1
  • 根据第一次小于0位置对A序列、非法的B序列进行分类，都可以分为n类
  • 前若干项和第一次小于0时，此时的和一定等于 -1
  • 对于A序列，在2k+1位置第一次和小于0
    $$\underset{k个\pm 1}{1，\dots \dots ，-1}，-1，\underset{n-k-1个+1，n-k个-1}{\dots \dots }$$
  • 对于非法B序列，在2k+1位置第一次和小于0
    $$\underset{k个\pm 1}{1，\dots \dots ，-1}，-1，\underset{n-k个+1，n-k-1个-1}{\dots \dots }$$
  • 结论：在2k+1位置第一次和小于0，对应的可能数量相等。因此b₁ = a₁ 成立

递推公式二

• 对于合法B序列，前若干项和第一次等于0的位置只能是 2，4，6，……，2n
• 根据第一次等于0的位置对合法B序列进行分类，都可以分为n类
• 分类后，每类由两个子问题构成；例如：在2k位置第一次和等于0
  $$\stackrel{k个\pm 1}{1，\underset{k-1个\pm 1}{1，\dots \dots ，-1}，-1}，\underset{n-k个\pm 1}{1，\dots \dots ，-1}$$
  对应的排列数：
  $$C_{k-1}\times C_{n-k}$$
  所以，总的排列数
  $$C_n=C_0\times C_{n-1}+C_1\times C_{n-2}+C_2\times C_{n-3}+\dots +C_{n-1}\times C_0$$

例题

• 一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,…,n时有多少个不同的出栈序列？
  

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• 圆周上有2n个点，以这些点为端点连互不相交的n条弦，求不同的连法总数.

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• 有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树.
  如中序遍历，根结点第k个被访问到，则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右子树有n-k个点。k的取值范围为1到n。【2015年腾讯实习生在线笔试题】

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• 一个凸的n边形，用直线连接它的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。

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• 有n+1个叶子的满二叉树的个数？
  
  向左记为+1，向右记为-1，按照向左优先的原则，从根节点开始遍历．例如第一个图记为+1,+1,+1,−1,−1,−1。【即符合卡特兰数的含义】

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• 在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？
  向右相当于进栈，向左相当于出栈。（这个模型是进出栈问题的一个几何解释）

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• 由n对括号形成的合法括号表达式的个数。
  • 当n=3时，合法的表达式共有:((())),(())(),()(()),()()(),(()())，共5个。
  • 表达式和指针结合可以视作乘法操作指令。指针：指向操作数，初始时刻，指针指向第一个数；左括号：指针右移一格；右括号：将指针当前指向的数与其左侧的一个数作乘积，并删除左侧的那个数。
  • 如图所示，1,2,3,4相乘时取n=3，当执行完括号表达式，就得到了一种可能的相乘顺序．
    

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• n+1个数连乘，不同的乘法顺序数。
  【提示：可以为每种可能的相乘顺序找到一个对应的合法的括号表达式。】

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• 将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？
  【提示：任选一条边，使得该边对应不同的顶点】

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• n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？
  【提示：每一个区域必属于某个矩形，去掉顶点区域所在的矩形，则易由递推公式推得。】

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• 在一个2*n的格子中填入1到2n这些数值使得每个格子内的数值都比其右边和上边的所有数值都小的情况数。
  【提示：下，下，上，上，……】

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• n+m个人排队买票，并且满足，票价为50元，其中n个人各手持一张50元钞票，m个人各手持一张100元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。
  【提示：50，50，100，100，……】