线段树
线段树
线段树概念
线段树和树状数组都是解决区间问题的数据结构，线段树的两个经典问题：区间求和，区间最值。
（1）区间最值：
1）求最值：给定i, j ≤ n，求区间[i, j]内的最值。
2）修改元素：给定k和x，把第k个元素a[k]改成x。
如果用普通数组存储数列，上面2个操作，求最值的复杂度是O(n)，修改是O(1)。如果有m次“修改元素+查询最值”，那么总复杂度是O(mn)。如果m和n比较大，例如105，那么整个程序的复杂度是1010数量级，这个复杂度在算法竞赛中是不可接受的。
（2）区间求和：
给出一个数列，先修改一些值，然后选取[i,j]求区间和。如果用数组存数据，一次求和是O(n)的；如果更改和询问的操作总次数是m，那么整个程序的复杂度是O(mn)。这样的复杂度也是不行的。
对于这两类问题都可以用线段树在O（mlogn）的时间内完成。在上述两种基础的应用外，线段树还可以解决多种问题。
树状数组和线段树各有优点：
（1）逻辑结构。线段树基于二叉树，数据结构非常直观，更清晰易懂；另外，由于二叉树灵活而丰富，能用于更多场合，比树状数组适应面多。
（2）代码长度。线段树的编码需要维护二叉树，而树状数组只需简单地处理一个Tree数组，所以线段树的代码更长。不过，二叉树也可以用数组（满二叉树）来写，代码能稍微减少一点。
概况地说，线段树是“分治法思想 + 二叉树结构 + lazy-tag技术”。
线段树是分叉法和二叉树的结合
线段树的节点是一个区间，下图是一个包含10个线段的线段树，观察一下这棵树我们可以发现几个特点。
（1）树用分治法自上而下建立，每个节点把区间分为两半，左右子树各一半。
（2）每个节点表示一个线段，非子节点包含多个元素，叶子节点仅包含一个元素。
（3）除了最后一层其他都是满的，这种结构的树层数是最少的。
在查找一个区间[L，R]左端是L，右端是R。
当L==R时，说明这个区间仅包含一个元素，这个节点是叶子节点。
当L
二叉树的实现
编码时，可以定义标准二叉树的编译模式，竞赛时一般用静态数组实现满二叉树，满二叉树虽然浪费空间但编码简单。父结点和子结点之间的访问非常简单，缺点是最后一行有大量结点被浪费。
//定义根结点是tree[1]，即编号为1的结点是根
//（1）第一种方法：定义二叉树数据结构
struct{
int L, R, data; //用tree[i].data记录线段i的最值或区间和
}tree[MAXN*4]; //分配静态数组，开4倍大
//（2）第二种方法：直接用数组表示二叉树，更节省空间
int tree[MAXN*4]; //用tree[i]记录线段i的最值或区间和
//以上两种方式，都满足下面的父子关系。结点p是父，结点ls(p)是左儿子，rs(p)是右儿子
int ls(int x){
return x<<1; } //左儿子，编号是 p*2
int rs(int x){
return x<<1|1;} //右儿子，编号是 p*2+1
注意，二叉树的空间需要开MAXN*4，即元素数量的4倍，下面说明原因。假设有一棵处理n个元素（叶子结点有n个）的线段树，且它的最后一层只有1个叶子，其他层都是满的；如果用满二叉树表示，它的结点总数是：最后一层有2n个结点（其中2n - 1个都浪费了没用到），前面所有的层有2n个结点，共4n个结点。空间的浪费是二叉树的本质决定的：它的每一层都按2倍递增。
void push_up(int p){
//从下往上传递区间值
tree[p] = tree[ls(p)] + tree[rs(p)]; //区间和
//tree[p] = min(tree[ls(p)], tree[rs(p)]);//求最小值
}
void build(int p,int pl,int pr){
//结点编号p指向区间[pl, R]
if(pl==pr){
tree[p]=a[pl]; return; } //最底层的叶子，存叶子的值
int mid = (pl+pr) >> 1; //分治：折半
build(ls(p),pl,mid); //递归左儿子
build(rs(p),mid+1,pr); //递归右儿子
push_up(p); //从下往上传递区间值
}
单点修改+区间最值
以数列{1, 4, 5, 8, 6, 2, 3, 9, 10, 7}为例。首先建立一棵用满二叉树实现的线段树，用于查询任意子区间的最小值。如下图所示，每个结点上圆圈内的数字是这棵子树的最小值。圆圈旁边的数字，例如根结点的"1:[1,10]"，1表示结点的编号，[1,10]是这个结点代表的元素范围，即第1到第10个元素。
查询任意区间[i, j]的最小值。例如查区间[4, 9]的最小值，递归查询到区间[4, 5]、[6, 8]、[9, 9]，见图中画横线的线段，得最小值min{6, 2, 10} = 2。查询在O(logn)时间内完成。读者可以注意到，在这种情况下，线段树很像一个最小堆。
m次“单点修改+区间查询”的总复杂度是O(mlogn)。对规模100万的问题，也能轻松解决。
单点修改+区间求和
首先建立一棵用于查询{1, 4, 5, 8, 6, 2, 3, 9, 10, 7}区间和的线段树，每个结点上圆圈内的数字是这棵子树的和。
例如查区间[4, 9]的和，递归查询到区间[4, 5]、[6, 8]、[9, 9]，见图中画横线的线段，得sum{14, 14, 10} = 38。查询在O(logn)的时间内完成。
区间查询实现与代码
下面以查询[L,R]的和为例，查询递归到节点p时（p的区间是[pl,pr]），有三种情况。
（1）如果[L,R]包含[pl,pr]，即L<=pl<=pr<=R，直接返回p的值即可。
（2）如果[L,R]与[pl,pr]完全不相交，返回0，退出。
（3）如果[L,R]与[pl,pr]部分重叠,分别搜索左右子节点，mid是p区间的中点，L<=mid递归左子节点，R>mid递归右节点。
int query(int L,int R,int p,int pl,int pr){
if(L<=pl && pr<=R) return tree[p]; //完全覆盖
int mid = (pl+pr)>>1;
if(L<=mid) res+=query(L,R,ls(p),pl,mid); //L与左子节点有重叠
if(R>mid) res+=query(L,R,rs(p),mid+1,pr); //R与右子节点有重叠
return res;
}
//调用方式：query(L, R, 1, 1, n)
区间修改+区间求和
这里就用到了这节的核心算法“lazy-tag”。并给出了“区间修改+区间查询”的模板。
在上一节已经指出区间修改要比单点修改复杂的多。最普通区间修改，例如对一个数列的[L, R]区间内每个元素统一加上d，如果在线段树上，一个个地修改这些元素，那么m次区间修改的复杂度是O(mnlogn)的。
解决的办法很容易想到，还是利用线段树的特征：线段树的结点tree[i]，记录了i这个区间的值。那么可以再定义一个tag[i]，用它统一记录i这个区间的修改，而不是一个个地修改区间内的每个元素，这个办法被称为“lazy-tag”。
**“lazy-tag”**称懒惰标记也叫延迟标记。当修改一个区间时，可以将这个区间整体进行修改，其中的子节点先不改变，只有这个区间的整体性被破坏时，才去修改其中的子节点。每次区间修改的复杂度是O(logn)的，一共m次操作，总复杂度是O(mlogn)的。区间i的lazy操作，用tag[i]记录。
下面举例说明区间修改函数update()的具体步骤。例如把[4, 9]区间内的每个元素加3，执行步骤是：
（1）左子树递归到结点5，即区间[4, 5]，完全包含在[4, 9]内，打标记tag[5] = 3，更新tree[5]为20，不再继续深入；
（2）左子树递归返回，更新tree[2]为30；
（3）右子树递归到结点6，即区间[6, 8]，完全包含在[4, 9]内，打标记tag[6]=3，更新tree[6]为23。
（4）右子树递归到结点14，即区间[9, 9]，打标记tag[14]=3，更新tree[14]=13；
（5）右子树递归返回，更新tree[7]=20；继续返回，更新tree[3]=43；
（6）返回到根节点，更新tree[1]=73。
详情见下图。
push_down()函数。在进行多次区间修改时，一个结点需要记录多个区间修改。而这些区间修改往往有冲突，例如做2次区间修改，一次是[4, 9]，一次是[5, 8]，它们都会影响5:[4, 5]这个结点。第一次修改[4, 9]覆盖了结点5，用tag[5]做了记录；而第二次修改[5, 8]不能覆盖结点5，需要再向下搜到结点11:[5, 5]，从而破坏了tag[5]，此时原tag[5]记录的区间统一修改就不得不往它的子结点传递和执行了，传递后tag[5]失去了意义，需要清空。所以lazy-tag的主要操作是解决多次区间修改，用push_down()函数完成。它首先检查结点p的tag[p]，如果有值，说明前面做区间修改时给p打了tag标记，接下来就把tag[p]传给左右子树，然后把tag[p]清零。
#include具体的题目，可以根据情况选用树状数组和线段树。很多题目只能用线段树，如果两种都能用，建议先考虑用线段树。线段树的代码长很多，但是更容易理解、编码更清晰，做题时间更短。而树状数组的局限性很大，即使能用，也常常需要经过较难的思维转换，区间修改就是一个例子。
线段树二分操作例题
Vases and Flowers hdu 4614
题目描述：Alice有N个花瓶，编号0 ~ N-1，一个花瓶中只能插一朵花。Alice经常收到很多花并插到花瓶中，她也经常清理花瓶。
输入：第一行是整数T，表示测试样例数。对每个测试，第一行有两个整数N，M，1
2 A B 清理从A到B的花瓶。
输出：对第1种操作，输出插入花瓶的第一个和最后一个位置，如果无法插入，输出“Can not put any one.”；对第2种操作，输出丢弃的花的数量。
**题解:**定义线段树，用线段树节点表示这一区间中花的数量和。
对于插入花这一操作需要三步
（1）在线段树上[0,n-1]二分查找到第一个0的位置pos1。
（2）在线段树上[pos1,n-1]二分查找到第F个0的位置pos2。
（3）将[pos1，pos2]所有的花瓶置1。
对于清理这一操作需要两步
（1）统计线段树[A,B]所有的1。
（2）将[A,B]所有的花瓶置0。
lazy-tag优化：如果一个节点所有的花瓶都已被填充，那么将tag置1标记。接下来在插入花时搜索到tag为1的节点就可以跳过。
#include