【Codeforces 1093F】Vasya and Array | 思维、dp、容斥

题目大意:

给出一段序列，序列中有$-1$和$x(1\le x\le m)$，$-1$可以替换为$[1,m]$中任何一个数。

认定一个序列是好的，当且仅当序列中所有连续相同数的长度都小于$len$

询问有多少种方案使得该序列是好的。

题目思路：

$emmm$，这个$dp$确实有点难想，主要是没做过这种，总结一下。

定义

• $dp[i][j]$代表前$i$个数合法最后一个数是$j$的方案数。
• $sp[i]={\sum }_{j=1}^{m}dp[i][j]$

首先令$dp[i][j]=sp[i-1]$，那么可以肯定的是，这已经包含了所有的情况，即存在非法情况。所以可以考虑将非法的情况减去，如果确定第$i$位放入$j$这个数字，当且仅当$[i-len+1,i]$全是$-1$或者$j$时，才会对当前产生非法的贡献。

所以首先$dp[i][j]=sp[i-1]-sp[i-len]$

这样就把$[i-len+1,i]$取同一个数的非法情况减掉了，但是这个多减了一部分，因为有一部分可以被前$i-1$个数容斥掉，就是$dp[i-len][j]$，所以需要将$dp[i-len][j]$补充上。

所以$dp$转移方程：

• $dp[i][j]=sp[i-1]-sp[i-len]+dp[i-len][j]$ , 满足容斥条件时
• $dp[i][j]=sp[i-1]$, 其他情况

Code:

/*** keep hungry and calm CoolGuang!  ***/
//#pragma GCC optimize(3)
#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#define debug(x) cout<<#x<<":"<
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const ll INF= 1e18+7;
const int maxn = 1e6+700;
const int mod= 998244353;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a){
     char c=getchar();T x=0,f=1;while(!isdigit(c)){
     if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){
     x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}a=f*x;}
ll n,m,p;
ll dp[100005][105];
int sp[100005];
int sum[100005][105];
int a[100005];
int main(){
     
	read(n);read(m);read(p);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
     
		for(int k=1;k<=m+1;k++) sum[i][k] = sum[i-1][k];
		sum[i][(a[i]==-1?m+1:a[i])]++;
	}
	sp[0] = 1;

	for(int i=1;i<=n;i++){
     
		if(a[i] == -1){
     
			for(int k=1;k<=m;k++){
     
				dp[i][k] = sp[i-1];
				if(i<p) continue;
				if(sum[i][k]-sum[i-p][k] + sum[i][m+1]-sum[i-p][m+1] == p)
					dp[i][k] = (dp[i][k] - sp[i-p]%mod+mod + dp[i-p][k])%mod;
			}
		}
		else{
     
			for(int k=a[i];k<=a[i];k++){
     
				dp[i][k] = sp[i-1];
				if(i<p) continue;
				if(sum[i][k]-sum[i-p][k] + sum[i][m+1]-sum[i-p][m+1] == p)
					dp[i][k] = (dp[i][k] - sp[i-p]%mod+mod + dp[i-p][k])%mod;
			}
		}
		for(int k=1;k<=m;k++) sp[i] = (sp[i] + dp[i][k])%mod;
	}
	ll ans = 0;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans = (ans + dp[n][i])%mod;
		dl(ans);
  return 0;
}

/**
2 2
-1 -2
4 5
**/