《编程之美: 求二叉树中节点的最大距离》的另一个解法

 

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Milo的游戏开发

《编程之美: 求二叉树中节点的最大距离》的另一个解法

2010-02-25 03:32 by Milo Yip, 7408 visits, 收藏, 编辑

昨天花了一个晚上为《编程之美》，在豆瓣写了一篇书评《迟来的书评和感想──给喜爱编程的朋友》。书评就不转载到这里了，取而代之，在这里介绍书里其中一条问题的另一个解法。这个解法比较简短易读及降低了空间复杂度，或者可以说觉得比较「美」吧。

问题定义

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

书上的解法

书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

• 情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
• 情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。

只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

我也想不到更好的分析方法。

但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):

01 // 数据结构定义
02 struct NODE
03 {
04     NODE* pLeft;        // 左子树
05     NODE* pRight;       // 右子树
06     int nMaxLeft;       // 左子树中的最长距离
07     int nMaxRight;      // 右子树中的最长距离
08     char chValue;       // 该节点的值
09 };
10
11 int nMaxLen = 0;
12
13 // 寻找树中最长的两段距离
14 void FindMaxLen(NODE* pRoot)
15 {
16     // 遍历到叶子节点，返回
17     if(pRoot == NULL)
18     {
19         return;
20     }
21
22     // 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0
23     if(pRoot -> pLeft == NULL)
24     {
25         pRoot -> nMaxLeft = 0;
26     }
27
28     // 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0
29     if(pRoot -> pRight == NULL)
30     {
31         pRoot -> nMaxRight = 0;
32     }
33
34     // 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离
35     if(pRoot -> pLeft != NULL)
36     {
37         FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
38     }
39
40     // 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离
41     if(pRoot -> pRight != NULL)
42     {
43         FindMaxLen(pRoot -> pRight);
44     }
45
46     // 计算左子树最长节点距离
47     if(pRoot -> pLeft != NULL)
48     {
49         int nTempMax = 0;
50         if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
51         {
52             nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
53         }
54         else
55         {
56             nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
57         }
58         pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
59     }
60
61     // 计算右子树最长节点距离
62     if(pRoot -> pRight != NULL)
63     {
64         int nTempMax = 0;
65         if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
66         {
67             nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
68         }
69         else
70         {
71             nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
72         }
73         pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
74     }
75
76     // 更新最长距离
77     if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
78     {
79         nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
80     }
81 }

这段代码有几个缺点:

1. 算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
2. 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
3. 逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。

我的尝试

我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:

01 #include
02
03 using namespace std;
04
05 struct NODE
06 {
07     NODE *pLeft;
08     NODE *pRight;
09 };
10
11 struct RESULT
12 {
13     int nMaxDistance;
14     int nMaxDepth;
15 };
16
17 RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
18 {
19     if (!root)
20     {
21         RESULT empty = { 0, -1 };   // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
22         return empty;
23     }
24
25     RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
26     RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
27
28     RESULT result;
29     result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
30     result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
31     return result;
32 }

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

测试代码

以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):

01 void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
02 {
03     if (left != -1)
04         nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
05
06     if (right != -1)
07         nodes[parent].pRight = &nodes[right];
08 }
09
10 void main()
11 {
12     // P. 241 Graph 3-12
13     NODE test1[9] = { 0 };
14     Link(test1, 0, 1, 2);
15     Link(test1, 1, 3, 4);
16     Link(test1, 2, 5, 6);
17     Link(test1, 3, 7, -1);
18     Link(test1, 5, -1, 8);
19     cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
20
21     // P. 242 Graph 3-13 left
22     NODE test2[4] = { 0 };
23     Link(test2, 0, 1, 2);
24     Link(test2, 1, 3, -1);
25     cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
26
27     // P. 242 Graph 3-13 right
28     NODE test3[9] = { 0 };
29     Link(test3, 0, -1, 1);
30     Link(test3, 1, 2, 3);
31     Link(test3, 2, 4, -1);
32     Link(test3, 3, 5, 6);
33     Link(test3, 4, 7, -1);
34     Link(test3, 5, -1, 8);
35     cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
36
37     // P. 242 Graph 3-14
38     // Same as Graph 3-2, not test
39
40     // P. 243 Graph 3-15
41     NODE test4[9] = { 0 };
42     Link(test4, 0, 1, 2);
43     Link(test4, 1, 3, 4);
44     Link(test4, 3, 5, 6);
45     Link(test4, 5, 7, -1);
46     Link(test4, 6, -1, 8);
47     cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
48 }

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1. #1楼 yeka      2010-02-25 06:30

   Milo又熬夜啦.......
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2. #2楼 陈硕      2010-02-25 08:56

   第 19~21 行有线程安全问题：
   
   static const RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
   if (!root)
   return empty;
   
   建议改为：
   
   if (!root) {
   RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
   return empty;
   // trust compiler, POD data will be optimized well.
   }
   
   因为按标准，function static variable 只在函数第一次调用时初始化，这个的初始化只有在最新的编译器里才是线程安全的。
   在旧的编译器（GCC 3 及以前）上，原来的写法可能会读到 partial initialized 'empty' 变量，如果两个线程同时（首次）调用 GetMaximumDistance 的话。
   　 回复　 引用　 查看　   

3. #3楼 秋醒半梦时[未注册用户]2010-02-25 09:12

   这不就是求树的直径的问题吗？
   树的直径最简单的解法(无论是几叉)：
   从任意一点i一次BFS找到树中与他距离最远的点j，从j再一次BFS找到树中里j最远的点k,那么D[j][k](j与k的距离)即为答案。
   
   稍微好理解的方法：树形动态规划
   　 回复　 引用　   

4. #4楼 Dbger      2010-02-25 10:07

   @陈硕
   如果非要考虑多线程安全，我倾向于用“全局变量”来表示这些常用的常量，就和向量，矩阵类中一些单元向量，单元矩阵等。
   　 回复　 引用　 查看　   

5. #5楼 Jeffrey Zhao      2010-02-25 10:46

   我觉得直接把递归语意翻译过来最直接和清晰吧：
   

   01 type BinaryTree =
   02 | Node of BinaryTree * BinaryTree
   03 | Empty
   04
   05 let rec height (tree: BinaryTree) =
   06     match tree with
   07     | Empty -> 0
   08     | Node (l, r) -> 1 + max (height l) (height r)
   09
   10 let rec calculate (tree: BinaryTree) =
   11     match tree with
   12     | Empty -> 0
   13     | Node (l, r) ->
   14         (height l) + (height r)
   15         |> max (calculate l)
   16         |> max (calculate r)

   
   这里我用了F#，不过C#，C++其实也是一回事情吧。
   　 回复　 引用　 查看　   

6. #6楼 Todd Wei      2010-02-25 12:11

   @秋醒半梦时
   进行两次BFS：先从树根A出发进行广度优先搜索(BFS)，找到最远的结点B，然后再从结点B出BFS，找到离B最远的结点C，BC就是最大距离。
   
   下面是正确性证明
   假设存在结点X和Y，它们的距离是所有结点中最大的；分两种情况讨论：
   1. 若路径XY与路径AB有交点O，
   ...A
   ...|
   X-O--Y
   ...|
   ...B
   由于|OB| >= |OX|且|OB| >= |OY|，所以，|BX| >= |XY|，|BY| >= |XY|。即从B出发可以构造出最长路径。
   
   2.若路径XY与路径AB无交点，
   A...B X...Y
   A是树根，XY与B分属不同的子树，假设XY的最近祖先为O，由于
   |AB| >= |AO| + |AX|，所以|BY| = |AB| + |AO| + |OY| > |XY|。即从B出发构造出长于XY的路径，与假设XY是最长路径矛盾。
   　 回复　 引用　 查看　   

7. #7楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 12:19

   @Dbger
   @陈硕
   我覺得兩個方法都可以解決潛在的多線程問題。我現在先相信compiler，改用了陳碩的寫法。
   從另一個角度看這個問題，local static variable是會做成side effect，所以 thread-safe 會不成立。
   　 回复　 引用　 查看　   

8. #8楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 12:40

   @Jeffrey Zhao
   我未學過任何一個 functional programming 語言。希望趙大能指正不對的地方。
   
   用 FP 的確可以增加可讀性，同時能減少錯誤的機會。
   
   FP 能對 pure function 用自動的 cache optimization，這是優點也是缺點。如果沒有這優化，在你提供的代碼中，height 的調用次數估計是 O(n^2)；而有了這優化，就需要O(n)的空間去儲存n 個 height()的運算結果。而這優化我估計應該需要做 table lookup，帶來額外 overhead。
   
   我的嘗試中，並不需要O(n)的額外空間，而且仍維持每節點只遍歷一次。
   
   又反過來說，在效能上，FP 的好處是可以自動做並行，用 procedural 語言手動做這個就會顯得複雜。
   　 回复　 引用　 查看　   

9. #9楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 13:09

   @Todd Wei
   @秋醒半梦时
   多謝你們的回應，我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
   
   這該我找到一點參考文章:
   http://www.cs.duke.edu/courses/spring00/cps100/assign/trees/diameter.html
   http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/project/phrensy/pub/papers/LeisersonM88/node17.html
   
   發現前一篇文章基本上和Jeffrey的嘗試一樣，但用 procedural programming 會有O(N^2)的 height() 調用。我覺得我寫的邊界條件(那個trick)可能不需要，今晚回家試試。
   
   第二篇談到的幾個詞彙我都不太認識，可能要再多看一些參考。也想請教，用 BFS 的方法會比現時的方法簡單或高效麼? 還是現時的方法實際上有錯誤?
   　 回复　 引用　 查看　   

10. #10楼 Todd Wei      2010-02-25 13:20

    @Milo Yip
    BFS是O(N)的，所以复杂度更低。特别是基于BFS的方法不局限于2叉树，而前面递归方法在多叉树情况下复杂度会更高。
    　 回复　 引用　 查看　   

11. #11楼 Jeffrey Zhao      2010-02-25 13:23

    @Milo Yip
    其实你的算法还是用了O(h)的空间啦，h是高度，（非尾）递归算法嘛，栈空间是省不了的。
    的确这里height会反复调用，所以如果必要的话，还是要做memorization的。
    作了momorization以后，时间和空间“复杂度”和你的过程式算法是一致的了。
    　 回复　 引用　 查看　   

12. #12楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 13:31

    @Jeffrey Zhao
    引用 Jeffrey Zhao：
    @Milo Yip
    其实你的算法还是用了O(h)的空间啦，h是高度，（非尾）递归算法嘛，栈空间是省不了的。
    的确这里height会反复调用，所以如果必要的话，还是要做memorization的。
    作了momorization以后，时间和空间“复杂度”和你的过程式算法是一致的了。
    本文也提及，我的嘗試用了O(h)的棧空間代替原文的O(n) intrusive data，而你寫的height函數的memorization空間是O(n)。因為 h <= n，O(h)應該是比 O(n)好吧。
    　 回复　 引用　 查看　   

13. #13楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 13:36

    引用Todd Wei：
    @Milo Yip
    BFS是O(N)的，所以复杂度更低。特别是基于BFS的方法不局限于2叉树，而前面递归方法在多叉树情况下复杂度会更高。
    我的嘗試也是O(N)，而且只需遍歷一次。跟據你的描述，BFS要做兩次，而且要加入parent? 不過對於一般的多叉樹，可能BFS的方法是最好的方法。
    　 回复　 引用　 查看　   

14. #14楼 Todd Wei      2010-02-25 15:09

    @Milo Yip
    哦，是的，你的递归也是O(N)，开始分析错了。
    
    树哪个结点作为parent没关系，任选即可。图论里面对树的一种定义方式是：具有n个结点和n+1条边的连通图。
    　 回复　 引用　 查看　   

15. #15楼 郑晖      2010-02-25 16:06

    @Milo Yip
    >>我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
    的确是“直径”——在数学中直径的定义是：一个距离空间中任意两点间距离的上确界(supremum)。
    　 回复　 引用　 查看　   

16. #16楼 秋醒半梦时[未注册用户]2010-02-25 17:03

    引用Todd Wei：
    @Milo Yip
    哦，是的，你的递归也是O(N)，开始分析错了。
    
    树哪个结点作为parent没关系，任选即可。图论里面对树的一种定义方式是：具有n个结点和n+1条边的连通图。
    
    我所了解的树的定义是：一个无环的无向图
    　 回复　 引用　   

17. #17楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 17:04

    @郑晖
    引用 郑晖：
    @Milo Yip
    >>我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
    的确是“直径”——在数学中直径的定义是：一个距离空间中任意两点间距离的上确界(supremum)。
    謝謝鄭老師的數學指導。在網上找到了關於這個的定義:
    
    http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedDiameter.html
    http://mathworld.wolfram.com/Supremum.html
    
    　 回复　 引用　 查看　   

18. #18楼 郑晖      2010-02-25 17:17

    引用Milo Yip：
    引用郑晖：
    @Milo Yip
    >>我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
    的确是“直径”——在数学中直径的定义是：一个距离空间中任意两点间距离的上确界(supremum)。
    謝謝鄭老師的數學指導。在網上找到了關於這個的定義:
    
    http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedDiameter.html
    http://mathworld.wolfram.com/Supremum.html
    
    
    http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedDiameter.html
    上面对的直径定义尚不足够general，它只提到了欧氏空间（Euclidean space R^n ），
    实际可扩展到更广泛的距离空间（metric space）。事实上，你这里提到的树就不是欧氏空间（因为这里的距离并非欧氏距离）。
    　 回复　 引用　 查看　   

19. #19楼[楼主] Milo Yip      2010-02-25 17:27

    @郑晖
    是的，我理解只要是 metric 就可以定義 diameter。
    　 回复　 引用　 查看　   

20. #20楼 flyinghearts      2010-05-19 14:05

    这是我的解法：
    http://blog.csdn.net/flyinghearts/archive/2010/05/19/5605995.aspx
    
    欢迎大家指正。
    　 回复　 引用　 查看　   

21. #21楼 gzroy      2010-10-06 18:24

    这是我的递归解法，欢迎交流：
    http://blog.csdn.net/yui/archive/2010/10/06/5924020.aspx
    　 回复　 引用　 查看　   

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Milo Yip是香港同胞，现任职于上海麻辣马，开发多平台游戏项目。

在高一高二时兼职开发游戏《王子传奇》后，便潜心向学(伪)，得到认知科学学士和系统工程及工程管理学哲学硕士后， 于大学里做游戏科技的相关项目，直至2008年才来到上海，再次投身游戏业界，之前的作品是《美食从天而降》Xbox360/PS3/Wii/PC。

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