斐波拉契数列 【微软面试100题 第十九题】

题目要求：

　　写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项。斐波拉契数列的定义如下：

　　

　　参考资料：剑指offer第9题、编程之美2.9

题目分析：

　　方法1：递归法，效率很低，而且会计算很多重复；

　　方法2：迭代法，通过保存中间项避免重复计算，时间复杂度O(n);

　　方法3：公式法，时间复杂度O(1),因为公式中引入了无理数，所以不能保证结果的精度；

　　方法4：分治策略，可以用矩阵来表示,则,(这个式子是通过计算A、A²、A³、、、观察出来的)其中，则上面这个式子可以表示为：

则F₂ = Y2_11 = A（11表示矩阵的第1行1列元素）.

　　　　　现在剩下的问题就是求Aⁿ了，可以把n用二进制表示：n = ak*2^k + ak-1*2^k-1 + ... + a1*2 + a0，其中ai = 0 或1 ，i = 0,1,2... k。例如：n = 5 = b’101 = 1*2² + 0*2¹+1*2⁰。这样

则，我们知道Aⁿ最多经过log₂n乘法就能够得到，而不用A*A*A这样计算n次。

代码实现：

　　方法1代码：

#include <stdio.h>



#define uint64 unsigned __int64 



uint64 Fibonacci(int n);



int main(void)

{

    int n;



    while(1)

    {

        printf("请输入n值：");

        scanf("%d",&n);



        printf("n = %d,Fibonacci(n) = %I64u\n",n,Fibonacci(n));    

    }    

    return 0;

}

uint64 Fibonacci(int n)

{

    if(n <= 0)

        return 0;

    else if(n == 1)

        return 1;

    else

        return (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));

}

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　　方法2代码：　

#include <stdio.h>

#include <assert.h>



int main(void)

{

    int n,i = 0;

    int x,y;



    while(1)

    {

        printf("请输入n值：");

        scanf("%d",&n);

        assert((n >= 0) && (n <= 92));//用这种方法的n最大为92，否则就溢出了。



        i = 0;

        x = 0;

        y = 1;

        while(i < n)

        {

            y = x+y;

            x = y-x;

            i++;

        }

        if(n <= 0)

            y = x;

        printf("n = %d,Fibonacci(n) = %d\n",n,y);



    }    

    return 0;

}

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　　方法3代码：

#include <stdio.h>

#include <assert.h>

#include <math.h>



double Pow(double x,unsigned int n);



int main(void)

{

    int n;

    int fibo;

    double a,b,c;

    a = sqrt(5.0);

    b = (1+a)/2;

    c = (1-a)/2;

    while(1)

    {

        printf("请输入n值：");

        scanf("%d",&n);

        assert((n >= 0));

        

        int x = pow(b,n);

        int y = pow(c,n);

        fibo = (int)(a*(Pow(b,n)-Pow(c,n))/5);

        printf("n = %d,fibonacci(n) = %d\n",n,fibo);

    }    

    return 0;

}

double Pow(double x,unsigned int n)

{

    double result = 1;

    while(n)

    {

        if(n & 0x01)

            result *= x;

        x  = x*x;

        n >>= 1;

    }

    return result;

}

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　　方法4代码：　

#include <stdio.h>

#include <assert.h>



const int MAXLENGTH = 10;



struct Matrix 

{

    unsigned side;

    __int64 dat[MAXLENGTH*MAXLENGTH];//也可以用行/列来表示(row、line)，会更方便一点。

};



// 方阵的乘法 

void MatrixMult(const Matrix a, const Matrix b, Matrix &m)

{

    unsigned int i,j,k;

    assert(a.side == b.side);

    m.side = a.side;

    for (i=0; i < m.side; ++i)

        for (j=0; j < m.side; ++j)

        {

            m.dat[i*m.side+j] = 0;

            for (k=0; k<m.side; ++k)

                m.dat[i*m.side+j] += a.dat[i*a.side+k]*b.dat[k*b.side+j];

        }

}



__int64 Fibonaci(unsigned n)

{

    if (n==0) 

        return 0;



    --n;    // 计算矩阵prod的n-1次幂



    Matrix res;    

    res.side = 2;

    res.dat[0] = 1; res.dat[1] = 0; 

    res.dat[2] = 0; res.dat[3] = 1;



    Matrix prod;        

    prod.side = 2;

    prod.dat[0] = 1;  prod.dat[1] = 1;

    prod.dat[2] = 1;  prod.dat[3] = 0;



    // 只需要O(logn)的复杂度就能算出x的n次幂  

    while (n)

    {

        // 如果n的最低二进制位为1，则乘上对应的幂次prod

        if (n&1) MatrixMult(res, prod, res);

        MatrixMult(prod, prod, prod);

        n >>= 1;

    }

    return res.dat[0];

}



int main(void)

{

    int i;



    for(i = 0;i < 20;i++)

    {

        printf("%I64u\n",Fibonaci(i));

    }

    

    return 0;

}

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