AVLTree(二叉平衡树)底层实现
文章目录
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- 1. AVL树的概念
- 1.1 AVL树节点的定义
- 1.2 AVL树的插入
- 1.3AVL树的旋转处理
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- 1.3.1右单旋
- 1.3.2左单旋
- 1.3.3 左右双旋
- 1.3.4 右左双旋
- 1.4完整代码实现及验证
1. AVL树的概念
如果二叉搜索树的插入序列是有序的或者是接近有序，那么二叉搜索树就会退化为单支树(类似单链表)，查找元素相当于在顺序表中搜索元素,时间复杂度为O(N)。
AVLtree(Adelson Velskii Landis tree)是一个加上额外平衡条件的二叉搜索树，左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1，如果它有n个节点，高度可保持在O(logn)，搜索时间复杂度为O(logn)。
1.1 AVL树节点的定义
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;//平衡因子 左右高度差
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)//构造
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{
}
};
1.2 AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
1.按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 如果插入到左侧，只需要将平衡因子-1
- 如果插入到右侧，只需要将平衡因子+1
2.插入后调整节点的平衡因子
- 此时平衡因子有三种情况：
- 平衡因子为0，插入之前平衡因子为正负1，插入后被调整为0，此时满足AVL树的性质，插入成功
- 平衡因子为正负1，插入之前平衡因子为0，插入之后需要继续向上更新
- 平衡因子为正负2，则违反了AVL树的性质，需要对其进行旋转处理
1.3AVL树的旋转处理
1.3.1右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;//此时parent->bf=-2，左边高
Node* subLR = subL->_right;
//将subLR链接到parent的左侧
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr)
{
subLR->_parent = parent;//修改自己的parent
}
Node* pParent = parent->_parent;//保存一份
//将parent连接到subL的右侧
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
//将subL与pParent链接起来
if (pParent == nullptr)
{
_root = subL;//subL变成新的根
subL->_parent = nullptr;
}
else//不为根
{
if (pParent->_left == parent)//parent在上一层的左侧
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
//平衡因子的更新
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
1.3.2左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
//subRL连接到parent
parent->_right = subRL;
if(subRL)
subRL->_parent = parent;//NULL BUg
Node* pParent = parent->_parent;//保存一份来连接
//parent连接到subR上面
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (pParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else // 不为根
{
if (pParent->_left == parent)//parent在上一层的左侧
{
pParent->_left = subR;
}
else
{
pParent->_right = subR;
}
subR->_parent = pParent;
}
//平衡因子更新
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
1.3.3 左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = parent->_left->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);//先左旋
RotateR(parent);//再右旋
if (bf == 1)//说明是subLR是右树插入
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)//说明是subLR是左树插入
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
1.3.4 右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);//先右旋
RotateL(parent);//再左旋
if (bf == 1)//在subRL右侧插入时
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)//在左侧插入时
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
subRL->_bf = subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
总结：
假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- Parent的平衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR
- 当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
- Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL
- 当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
1.4完整代码实现及验证
#pragma once
#include 