第二讲

第二讲：平面直角坐标系下曲线运动的描述

—— 以圆周运动为例

---

本次课会涉及下列数学符号 f(x)

, , , , , , , , , , ,

对应的代码为

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

---

知识点

• 平面直角坐标系下的矢量

  有大小，有方向。大小为

  我们约定，小写字母都是对应的矢量的大小。

• 位矢 ，速度 , 加速度

  ​

  ​ 则速度

  ​ 加速度

  ​ 借助速度和加速度，我们可以对运动情况进行分析：该运动为水平速度恒定，竖直方向加速度恒定的运动。

• 轨迹方程 ( 关于的方程，不关心时间)

  1. 写成分量式
     
  2. 消元法除掉，只得到即可。

• 位矢的大小，速率，加速度的大小

  例子：

  ​ ，求, , , 以及何时加速度最大。

  ​

  ​ 对吗？不对！反例：匀速率圆周运动。

• 一段时间的路程 ，半径的增量，位移

  1. 的几何意义：起点、终点间轨迹的长度
  2. 的几何意义：起点指向终点的有向线段
  3. 的几何意义：与原点间距离的增量

• • 等号成立的条件：

    • 极限情况
    • 单向直线运动

• 曲线运动的加速度

  • 匀速圆周运动的加速度
    • 向心加速度，或法向加速度，符号。作用是改变速度的方向。
  • 直线运动的加速度
    • 切向加速度。符号。作用是改变速度的大小。
  • 变速圆周运动的加速度
  • 一般曲线运动的加速度表达式
    • 加速度的大小
    • 曲率半径

---

表达题

• 设质点的运动学方程为 (式中、皆为常量) 则质点的速度、速率为

解答：
== - R +R
=||=R

• 运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
  
  则轨迹方程，时刻的速度与速率

解答：
=+=+

=||=

• 速度的表达式为，初学者可能误认为对于任意时刻有，这是错误的。这只是一个记号，它的真实含义是任意时刻，，实际运算中用求导法则计算。比如，已知质点的运动方程为，则时刻位矢为, 那么时刻的速度呢？吗？遵循这一思路，请求出该质点在时刻的加速度

解答：

• 理解抽象符号是深入学习的必备条件之一 。一个质点，在时刻位矢为,离开原点的距离为(简称半径，大小为)；在时刻位矢为,离开原点的距离为；在至时间内：走过的路程(轨迹的长度)为, 位矢的增量(末态-初态,简称位移)为，半径的增量为( 末态-初态，大小为)。设一个质点以坐标原点为圆心、以1为半径，做逆时针的圆周运动，时刻在(1,0)位置，时刻第一次转到(0,1)位置。则这短时间内的、、分别为

解答：
题干说明很详细
=
=
=

• 一运动质点在某瞬时的位矢为，对其速度的大小为
  • (1) ；
  • (2) ；
  • (3) ；
  • (4) .

上述判断正确的是

解答: (3)(4)
tip: 遇见绕来绕去的概念，请结合简单的模型(直线运动，匀速圆周运动)等情况来判断

• 曲线运动中，加速度经常按切向和法向进行分解：借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) ，
  (2) ，
  在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) ，
  (4) ，
  变速圆周运动的质点，
  (5) ，。
  (6) ，不就是高中学过的向心加速度嘛。
  上述判断正确的为

解答：
（1） （3）（6）

• 质点作曲线运动，对下列表述中，

  • (1)；

  • (2)；

  • (3)；

  • (4)．

    正确的是(　　)

解答：（3）为切向加速度
tip: 遇见绕来绕去的概念，请结合简单的模型(直线运动，匀速圆周运动)等情况来判断

• 一个质点在做圆周运动时,则下列说法正确的是( )
  • 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
  • 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
  • 切向加速度可能不变,法向加速度不变
  • 切向加速度一定改变,法向加速度不变

解答：

• 物体作斜抛运动，初速度大小为，且速度方向与水平前方夹角为，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：当达到最高点时，竖直方向上的速度为0，此时重力加速度充当向心加速度
且有
解得R=

• 法向加速度和切向加速度的核心公式是需要记忆的：和。质点沿半径为的圆周运动，其角位移随时间的变化规律是。在 时，它的法向加速度和切向加速度分别为( )

解答：
=

• 质点P在水平面内沿一半径为的圆轨道转动。转动的角速度与时间t的函数关系为 (k为常量)。已知 时，质点P的速度值为 。试求 时，质点P加速度的大小为()

解答：

• 质点在 平面内运动，其运动方程为．则在 时切向和法向加速度分别为()

解答：