Catalan number卡塔兰数的应用

卡塔兰数非常经典，很多现实问题都是卡塔兰数问题。在编程领域也很常见。如下的面试题:

2012腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，确保三个人都能借到书，求他们排队的总数？

解题思路：
3个还书的人，可以有3！种顺序.
3个借书的人同样有3！= 6种顺序.
图书馆没有书，那必须保证还书的数量不少于借书的数量，这样的排序组合数。
我们将还书的人以0标记，借书的人以1标记，那么这样的组合有：
000111 001011 001101 010011 010101，

所以最终的答案就是 5 * 3！*3！= 180；

类似的一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

由上面的一题我们知道，答案是 n * 8！*8！，
其中这个n如何求解呢？可以抽象为
8个0 8个1的从左到右数，确保当前数的前面，出行的0的次数不少于1的次数的组合数。

卡塔兰数：可以这样来理解其定义：n个0与n个1随机组合排列，从左到右数第K个数时，确保K前面0的个数不少于1的个数，这样的组合数就是卡塔兰数。

卡塔兰数的一般公式项

卡塔兰数的实例应用案例：

1. 括号化问题。一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法 表达式；现在有 6 对()，它们可以组成的合法表达式的个数为

2. 矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(Cn种)

3. 出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

4. 将多边行划分为三角形问题。将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

5. 给顶节点组成二叉树的问题。给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树，（能构成Cn个）Catalan数的解法Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
   例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

   
   
   

   4个叶子节点的所有二叉树形态的排列

6. Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

   
   
   

   4×4方格地图中的路径

Wiki链接参考