Exercise_09 :chapt 3: 台球的混沌问题

Abstract

• 本篇将探讨在一个出现了一点偏差的圆形台球桌内台球的运动轨迹。（圆形的台球桌什么的本来就很诡异了吧）

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• I have a ball.
  ~~I have a table. ~~
  Ahhh...
  Billi-ard!

• ~~I have a Python. ~~
  ~~I have a H.Cai. ~~
  Ahhhhhhh...
  Chaoooooooos!

• ~_Billi-ard~~
  Chaoooooooos
  Ahhhhhhh.........
  Ahhhhhhhhhh.........
  Ahhhhhhhhhhhhhhhh.........

Background

• 台球本身是件很有意思的事，球在有限的区域内被桌沿或其他的球反弹，逐渐按照既定的速滚走向既定的方向，将目标球击落袋。

  
  
  

• 假如你把它放进物理里，就会显得更（丧）加（心）有（病）趣（狂）。
• 我们将探讨一个球在圆形桌内的运动，以及当那个圆并不那么圆时，球在那个不那么圆的圆桌内的运动。

What a Weird Shape!

• 这个问题我们也将其简化，我们认为球在桌上的运动是无耗散的，可以永远地滚下去。
• 同时我们也认为，球在边缘上的反弹是完美的：

入射与反射角相等

• 当球碰到边缘时，我们将这样处理他的碰壁和反弹：

...
    x_next = self.x[-1] + self.vx * self.dt
    y_next = self.y[-1] + self.vy * self.dt
# 下一个点没有越界
if x_next ** 2 + (abs(y_next) - self.alpha) ** 2 < 1:
    self.x.append(x_next)
    self.y.append(y_next)
if abs(self.y[-1]) < 0.001:
    self.ps_vx.append(self.vx)
    self.ps_x.append(self.x[-1])
# 下个点成功越界,计算碰撞点并计算碰撞后速度
else:
    divisor = 2
# 往回走一点点
while divisor <= 2048:
    x_next -= (self.vx * self.dt / divisor)
    y_next -= (self.vy * self.dt / divisor)
# 当下个点与边界距离在误差允许范围内时，跳出 loop
if abs(x_next ** 2 + (abs(y_next) - self.alpha) ** 2 - 1) < 0.00001:
    divisor = 10000
# 如果刚刚往回走过了，撤销那一步，下一次走得再小一点
...

• 碰撞后，我们采用(level.6)矢量操作的方式计算碰撞后的速度。

• 可以得到轨迹图：

我可以盯着它看上一天.gif

• 考虑当alpha = 0.1时，两个仅有微小初始值差异的台球的运动轨迹区别，弄了张动图，matplotlib 库做了一点微小的贡献

冲啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊.gif

• 上图，可以预见二者分离度将在600以后达到1上下，也就是说两个系统将完全分离，

  
  
  

• 上图，台球十分争气地滚得乱七八糟（逃）
  

  

• alpha = 0.1，可以看到在500s内他的偏差都是很小的，只有-6的指数级别，但是当我们把时间增加一倍，从500s增加到1000s的时候：

  
  
  

• 两个小球也几乎没有产生大的偏差，那么当球桌是个正圆的时候呢？

• 两个球的分离度几乎肉眼不可见（废话！）

Pure Code

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Acknowledgements!

• 磊锅锅张磊 （就冲着这名字我也得把你从致谢里删了_(:D」∠)_）