HDU 4635 Strongly connected（强连通分量，变形）

 

题意：给出一个有向图（不一定连通），问最多可添加多少条边而该图仍然没有强连通。

思路：

　　强连通分量必须先求出，每个强连通分量包含有几个点也需要知道，每个点只会属于1个强连通分量。

　　在使图不强连通的前提下，要添加尽可能多的边。边至多有n*(n-1)条，而已经给了m条，那么所能添加的边数不可能超过k=n*(n-1)-m。

　　这k条边还有部分不能添加，一添加立刻就强连通。一个强连通图最少只需要n条边，根据强连通的特性，缩点之后必定是不会有环的存在的，那么只要继续保持没有环的存在即可。我们只要让其中1个强连通分量没有出度，或者没有入度就行了。到底选哪个强连通分量？选点数少的，这点在后面会了解。因为1*10=10，而2*9=18啊，也就是两个数越接近，两者之积越大。

　　如果挑出1个出度（入度也行的，同理）为0的强连通分量，该强连通分量的点数为d，那么答案就是k-d*(n-d)，即不允许有其他n-d个点有任何一条边指向此强连通分量，其他边都是可以存在的。那么要使得k-d*(n-d)最大，那么d*(n-d)要最小，就是上面讲的要选哪个强连通分量的原因。

　　那么应该找到缩点后出/入度为0的且包含点数最少的强连通分量来计算即可。

 

 

 

 1 #include <bits/stdc++.h>

 2 #define LL long long

 3 #define pii pair<int,int>

 4 using namespace std;

 5 const int N=100000+5;

 6 const int INF=0x7f7f7f7f;

 7 vector<int> vect[N];

 8 stack<int> stac;

 9 int num[N], chu[N], ru[N];         //统计强连通分量中点的个数

10 int scc_no[N], lowlink[N], dfn[N], dfn_clock, scc_cnt;  //SCC必备

11 int n, m;

12 unordered_map<int,int>  mapp;

13 void DFS(int x) //常规tarjan

14 {

15     stac.push(x);

16     dfn[x]=lowlink[x]=++dfn_clock;

17     for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)

18     {

19         int t=vect[x][i];

20         if(!dfn[t])

21         {

22             DFS(t);

23             lowlink[x]=min(lowlink[x],lowlink[t]);

24         }

25         else if(!scc_no[t]) //如果t不属于任何一个强连通分量

26             lowlink[x]=min(lowlink[x],dfn[t]);

27     }

28     if(lowlink[x]==dfn[x])

29     {

30         scc_cnt++;

31         while(true)

32         {

33             int t=stac.top();

34             stac.pop();

35             scc_no[t]=scc_cnt;

36             //scc[scc_cnt].push_back(t);

37             if(t==x)    break;

38         }

39     }

40 }

41 

42 

43 LL cal()

44 {

45     memset(dfn,0,sizeof(dfn));

46     memset(lowlink,0,sizeof(lowlink));

47     memset(scc_no,0,sizeof(scc_no));

48 

49     dfn_clock=scc_cnt=0;

50     for(int i=1; i<=n; i++)    if(!dfn[i])    DFS(i);   //深搜

51     if(scc_cnt==1)  return -1;  //已经强连通

52 

53     memset(chu,0,sizeof(chu));

54     memset(ru,0,sizeof(ru));

55     for(int i=1; i<=n; i++) //统计出入度数量

56         for(int j=0; j<vect[i].size(); j++)

57             if(scc_no[i]!=scc_no[vect[i][j]] )  chu[scc_no[i]]=ru[scc_no[vect[i][j]]]=true;

58 

59     memset(num,0,sizeof(num));

60     for(int i=1; i<=n; i++)    num[scc_no[i]]++;    //统计每个scc中的点的数目

61     int small=INF;

62     for(int i=1; i<=scc_cnt; i++)    if(!chu[i]||!ru[i])   small=min(small,num[i]);//挑量小的，只要满足出/入度为0。如果都已经有出和入度了，那还计算啥！

63     return (LL)n*(n-1) - m - small*(n-small);   //注意10万*10万

64 }

65 

66 

67 int main()

68 {

69     freopen("input.txt", "r", stdin);

70     int a, b, t, j=0;

71     cin>>t;

72     while(t--)

73     {

74         scanf("%d%d",&n,&m);

75         mapp.clear();

76         int up=0;

77         for(int i=1; i<=n; i++) vect[i].clear();

78         for(int i=0; i<m; i++)

79         {

80             scanf("%d%d", &a, &b);

81             if(!mapp[a])    mapp[a]=++up;   //只是怕点号不连续，好像多余了

82             if(!mapp[b])    mapp[b]=++up;

83             vect[mapp[a]].push_back(mapp[b]);

84         }

85         printf("Case %d: %lld\n",++j,cal());

86     }

87     return 0;

88 }

AC代码