GIS理论(墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺、Bing Maps Tile System)

GIS理论(墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺、Bing Maps Tile System)【转载】

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墨卡托投影(Mercator Projection),又名“等角正轴圆柱投影”,荷兰地图学家墨卡托(Mercator)在1569年拟定,假设地球被围在一个中空的圆柱里,其赤道与圆柱相接触,然后再假想地球中心有一盏灯,把球面上的图形投影到圆柱体上,再把圆柱体展开,这就是一幅标准纬线为零度(即赤道)的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

        GIS理论(墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺、Bing Maps Tile System) 

一、墨卡托投影坐标系(Mercator Projection)

  墨卡托投影以整个世界范围,赤道作为标准纬线,本初子午线作为中央经线,两者交点为坐标原点,向东向北为正,向西向南为负。南北极在地图的正下、上方,而东西方向处于地图的正右、左。

  由于Mercator Projection在两极附近是趋于无限值得,因此它并没完整展现了整个世界,地图上最高纬度是85.05度。为了简化计算,我们采用球形映射,而不是椭球体形状。虽然采用Mercator Projection只是为了方便展示地图,需要知道的是,这种映射会给Y轴方向带来0.33%的误差。

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  由于赤道半径为6378137米,则赤道周长为2*PI*r = 20037508.3427892,因此X轴的取值范围:[-20037508.3427892,20037508.3427892]。当纬度φ接近两极,即90°时,Y值趋向于无穷。因此通常把Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间。因此在墨卡托投影坐标系(米)下的坐标范围是:最小为(-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 坐标为(20037508.3427892, 20037508.3427892)。

二、地理坐标系(Geographical coordinates)

  地理经度的取值范围是[-180,180],纬度不可能到达90°,通过纬度取值范围为[20037508.3427892,20037508.3427892]反计算可得到纬度值为85.05112877980659。因此纬度取值范围是[-85.05112877980659,85.05112877980659]。因此,地理坐标系(经纬度)对应的范围是:最小地理坐标(-180,-85.05112877980659),最大地理坐标(180, 85.05112877980659)。

三、地面分辨率(Ground Resolution)
  地面分辨率是以一个像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以微软Bing Maps为例,当Level为1时,图片大小为512*512(4个Tile),那么赤道空间分辨率为:赤道周长/512。其他纬度的空间分辨率则为 纬度圈长度/512,极端的北极则为0。Level为2时,赤道的空间分辨率为 赤道周长/1024,其他纬度为 纬度圈长度1024。很明显,Ground Resolution取决于两个参数,缩放级别Level和纬度latitude ,Level决定像素的多少,latitude决定地面距离的长短。

  地面分辨率的公式为,单位:米/像素:

  ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2level pixels)  

  最低地图放大级别(1级),地图是512 x 512像素。每下一个放大级别,地图的高度和宽度分别乘于2:2级是1024 x 1024像素,3级是2048 x 2048像素,4级是4096 x 4096像素,等等。通常而言,地图的宽度和高度可以由以下式子计算得到:map width = map height = 256 * 2^level pixels

 

四、地图比例尺(Map Scale)

  地图比例尺是指测量相同目标时,地图上距离与实际距离的比例。通过地图分辨率在计算可知由Level可得到图片的像素大小,那么需要把其转换为以米为单位的距离,涉及到DPI(dot per inch),暂时可理解为类似的PPI(pixelper inch),即每英寸代表多少个像素。256 * 2level / DPI 即得到相应的英寸inch,再把英寸inch除以0.0254转换为米。实地距离仍旧是:cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters; 因此比例尺的公式为:

  map scale = 256 * 2level / screen dpi / 0.0254 / (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137)

  比例尺= 1 : (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * screen dpi) / (256 * 2level * 0.0254)

  地面分辨率和地图比例尺之间的关系:

  map scale = 1 : ground resolution * screen dpi / 0.0254 meters/inch

缩放级别

地图宽度、高度(像素)

地面分辨率(米/像素)

地图比例尺(以96dpi为例)

1

512

78,271.5170

1 : 295,829,355.45

2

1,024

39,135.7585

1 : 147,914,677.73

3

2,048

19,567.8792

1 : 73,957,338.86

4

4,096

9,783.9396

1 : 36,978,669.43

5

8,192

4,891.9698

1 : 18,489,334.72

6

16,384

2,445.9849

1 : 9,244,667.36

7

32,768

1,222.9925

1 : 4,622,333.68

8

65,536

611.4962

1 : 2,311,166.84

9

131,072

305.7481

1 : 1,155,583.42

10

262,144

152.8741

1 : 577,791.71

11

524,288

76.4370

1 : 288,895.85

12

1,048,576

38.2185

1 : 144,447.93

13

2,097,152

19.1093

1 : 72,223.96

14

4,194,304

9.5546

1 : 36,111.98

15

8,388,608

4.7773

1 : 18,055.99

16

16,777,216

2.3887

1 : 9,028.00

17

33,554,432

1.1943

1 : 4,514.00

18

67,108,864

0.5972

1 : 2,257.00

19

134,217,728

0.2986

1 : 1,128.50

20

268,435,456

0.1493

1 : 564.25

21

536,870,912

0.0746

1 : 282.12

22

1,073,741,824

0.0373

1 : 141.06

23

2,147,483,648

0.0187

1 : 70.53

五、Bing Maps像素坐标系和地图图片编码

  为了优化地图系统性能,提高地图下载和显示速度,所有地图都被分割成256 x 256像素大小的正方形小块。由于在每个放大级别下的像素数量都不一样,因此地图图片(Tile)的数量也不一样。每个tile都有一个XY坐标值,从左上角的(0, 0)至右下角的(2^level–1, 2^level–1)。例如在3级放大级别下,所有tile的坐标值范围为(0, 0)至(7, 7),如下图:

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  已知一个像素的XY坐标值时,我们很容易得到这个像素所在的Tile的XY坐标值:

    tileX = floor(pixelX / 256)  tileY = floor(pixelY / 256)

 

  为了简化索引和存储地图图片,每个tile的二维XY值被转换成一维字串,即四叉树键值(quardtree key,简称quadkey)。每个quadkey独立对应某个放大级别下的一个tile,并且它可以被用作数据库中B-tree索引值。为了将坐标值转换成quadkey,需要将Y和X坐标二进制值交错组合,并转换成4进制值及对应的字符串。例如,假设在放大级别为3时,tile的XY坐标值为(3,5),quadkey计算如下:

  tileX = 3 = 011(二进制)

  tileY = 5 = 101(二进制)

  quadkey = 100111(二进制) = 213(四进制) = “213”

  Quadkey还有其他一些有意思的特性。第一,quadkey的长度等于该tile所对应的放大级别;第二,每个tile的quadkey的前几位和其父tile(上一放大级别所对应的tile)的quadkey相同,下图中,tile 2是tile 20至23的父tile,tile 13是tile 130至133的父级:

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  最后,quadkey提供的一维索引值通常显示了两个tile在XY坐标系中的相似性。换句话说,两个相邻的tile对应的quadkey非常接近。这对于优化数据库的性能非常重要,因为相邻的tile通常被同时请求显示,因此可以将这些tile存放在相同的磁盘区域中,以减少磁盘的读取次数。

  下面是微软Bing Maps的TileSystem相关算法:

using  System;
using  System.Text;

namespace  Microsoft.MapPoint
{
    
static   class  TileSystem
    {
        
private   const   double  EarthRadius  =   6378137 ;
        
private   const   double  MinLatitude  =   - 85.05112878 ;
        
private   const   double  MaxLatitude  =   85.05112878 ;
        
private   const   double  MinLongitude  =   - 180 ;
        
private   const   double  MaxLongitude  =   180 ;


        
///   <summary>
        
///  Clips a number to the specified minimum and maximum values.
        
///   </summary>
        
///   <param name="n"> The number to clip. </param>
        
///   <param name="minValue"> Minimum allowable value. </param>
        
///   <param name="maxValue"> Maximum allowable value. </param>
        
///   <returns> The clipped value. </returns>
         private   static   double  Clip( double  n,  double  minValue,  double  maxValue)
        {
            
return  Math.Min(Math.Max(n, minValue), maxValue);
        }
        
        

        
///   <summary>
        
///  Determines the map width and height (in pixels) at a specified level
        
///  of detail.
        
///   </summary>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <returns> The map width and height in pixels. </returns>
         public   static   uint  MapSize( int  levelOfDetail)
        {
            
return  ( uint 256   <<  levelOfDetail;
        }



        
///   <summary>
        
///  Determines the ground resolution (in meters per pixel) at a specified
        
///  latitude and level of detail.
        
///   </summary>
        
///   <param name="latitude"> Latitude (in degrees) at which to measure the
        
///  ground resolution. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <returns> The ground resolution, in meters per pixel. </returns>
         public   static   double  GroundResolution( double  latitude,  int  levelOfDetail)
        {
            latitude 
=  Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
            
return  Math.Cos(latitude  *  Math.PI  /   180 *   2   *  Math.PI  *  EarthRadius  /  MapSize(levelOfDetail);
        }



        
///   <summary>
        
///  Determines the map scale at a specified latitude, level of detail,
        
///  and screen resolution.
        
///   </summary>
        
///   <param name="latitude"> Latitude (in degrees) at which to measure the
        
///  map scale. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <param name="screenDpi"> Resolution of the screen, in dots per inch. </param>
        
///   <returns> The map scale, expressed as the denominator N of the ratio 1 : N. </returns>
         public   static   double  MapScale( double  latitude,  int  levelOfDetail,  int  screenDpi)
        {
            
return  GroundResolution(latitude, levelOfDetail)  *  screenDpi  /   0.0254 ;
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts a point from latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees)
        
///  into pixel XY coordinates at a specified level of detail.
        
///   </summary>
        
///   <param name="latitude"> Latitude of the point, in degrees. </param>
        
///   <param name="longitude"> Longitude of the point, in degrees. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <param name="pixelX"> Output parameter receiving the X coordinate in pixels. </param>
        
///   <param name="pixelY"> Output parameter receiving the Y coordinate in pixels. </param>
         public   static   void  LatLongToPixelXY( double  latitude,  double  longitude,  int  levelOfDetail,  out   int  pixelX,  out   int  pixelY)
        {
            latitude 
=  Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
            longitude 
=  Clip(longitude, MinLongitude, MaxLongitude);

            
double  x  =  (longitude  +   180 /   360
            
double  sinLatitude  =  Math.Sin(latitude  *  Math.PI  /   180 );
            
double  y  =   0.5   -  Math.Log(( 1   +  sinLatitude)  /  ( 1   -  sinLatitude))  /  ( 4   *  Math.PI);

            
uint  mapSize  =  MapSize(levelOfDetail);
            pixelX 
=  ( int ) Clip(x  *  mapSize  +   0.5 0 , mapSize  -   1 );
            pixelY 
=  ( int ) Clip(y  *  mapSize  +   0.5 0 , mapSize  -   1 );
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts a pixel from pixel XY coordinates at a specified level of detail
        
///  into latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees).
        
///   </summary>
        
///   <param name="pixelX"> X coordinate of the point, in pixels. </param>
        
///   <param name="pixelY"> Y coordinates of the point, in pixels. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <param name="latitude"> Output parameter receiving the latitude in degrees. </param>
        
///   <param name="longitude"> Output parameter receiving the longitude in degrees. </param>
         public   static   void  PixelXYToLatLong( int  pixelX,  int  pixelY,  int  levelOfDetail,  out   double  latitude,  out   double  longitude)
        {
            
double  mapSize  =  MapSize(levelOfDetail);
            
double  x  =  (Clip(pixelX,  0 , mapSize  -   1 /  mapSize)  -   0.5 ;
            
double  y  =   0.5   -  (Clip(pixelY,  0 , mapSize  -   1 /  mapSize);

            latitude 
=   90   -   360   *  Math.Atan(Math.Exp( - *   2   *  Math.PI))  /  Math.PI;
            longitude 
=   360   *  x;
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts pixel XY coordinates into tile XY coordinates of the tile containing
        
///  the specified pixel.
        
///   </summary>
        
///   <param name="pixelX"> Pixel X coordinate. </param>
        
///   <param name="pixelY"> Pixel Y coordinate. </param>
        
///   <param name="tileX"> Output parameter receiving the tile X coordinate. </param>
        
///   <param name="tileY"> Output parameter receiving the tile Y coordinate. </param>
         public   static   void  PixelXYToTileXY( int  pixelX,  int  pixelY,  out   int  tileX,  out   int  tileY)
        {
            tileX 
=  pixelX  /   256 ;
            tileY 
=  pixelY  /   256 ;
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts tile XY coordinates into pixel XY coordinates of the upper-left pixel
        
///  of the specified tile.
        
///   </summary>
        
///   <param name="tileX"> Tile X coordinate. </param>
        
///   <param name="tileY"> Tile Y coordinate. </param>
        
///   <param name="pixelX"> Output parameter receiving the pixel X coordinate. </param>
        
///   <param name="pixelY"> Output parameter receiving the pixel Y coordinate. </param>
         public   static   void  TileXYToPixelXY( int  tileX,  int  tileY,  out   int  pixelX,  out   int  pixelY)
        {
            pixelX 
=  tileX  *   256 ;
            pixelY 
=  tileY  *   256 ;
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts tile XY coordinates into a QuadKey at a specified level of detail.
        
///   </summary>
        
///   <param name="tileX"> Tile X coordinate. </param>
        
///   <param name="tileY"> Tile Y coordinate. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Level of detail, from 1 (lowest detail)
        
///  to 23 (highest detail). </param>
        
///   <returns> A string containing the QuadKey. </returns>
         public   static   string  TileXYToQuadKey( int  tileX,  int  tileY,  int  levelOfDetail)
        {
            StringBuilder quadKey 
=   new  StringBuilder();
            
for  ( int  i  =  levelOfDetail; i  >   0 ; i -- )
            {
                
char  digit  =   ' 0 ' ;
                
int  mask  =   1   <<  (i  -   1 );
                
if  ((tileX  &  mask)  !=   0 )
                {
                    digit
++ ;
                }
                
if  ((tileY  &  mask)  !=   0 )
                {
                    digit
++ ;
                    digit
++ ;
                }
                quadKey.Append(digit);
            }
            
return  quadKey.ToString();
        }



        
///   <summary>
        
///  Converts a QuadKey into tile XY coordinates.
        
///   </summary>
        
///   <param name="quadKey"> QuadKey of the tile. </param>
        
///   <param name="tileX"> Output parameter receiving the tile X coordinate. </param>
        
///   <param name="tileY"> Output parameter receiving the tile Y coordinate. </param>
        
///   <param name="levelOfDetail"> Output parameter receiving the level of detail. </param>
         public   static   void  QuadKeyToTileXY( string  quadKey,  out   int  tileX,  out   int  tileY,  out   int  levelOfDetail)
        {
            tileX 
=  tileY  =   0 ;
            levelOfDetail 
=  quadKey.Length;
            
for  ( int  i  =  levelOfDetail; i  >   0 ; i -- )
            {
                
int  mask  =   1   <<  (i  -   1 );
                
switch  (quadKey[levelOfDetail  -  i])
                {
                    
case   ' 0 ' :
                        
break ;

                    
case   ' 1 ' :
                        tileX 
|=  mask;
                        
break ;

                    
case   ' 2 ' :
                        tileY 
|=  mask;
                        
break ;

                    
case   ' 3 ' :
                        tileX 
|=  mask;
                        tileY 
|=  mask;
                        
break ;

                    
default :
                        
throw   new  ArgumentException( " Invalid QuadKey digit sequence. " );
                }
            }
        }
    }
}

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