常用算法(3)-动态规划算法

1.介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming) 算法的核心思想, 将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法

2. 动态算法 与 分治算法类似, 其基本思想也是将 待求解的大问题 分解为 若干个子问题, 先求解 子问题, 然后从这些 子问题的解得到源问题的解

3. 与分治算法不同的是, 适合于 用动态规划求解的问题, 经分解得到子问题往往不是相互独立的.(即下一个子阶段的求解 是 建立在上一个 子阶段解 的 基础上, 进行进一步的求解)

4. 动态规划 可以通过填表的方式来逐步推进, 得到最优解

2.实践-背包问题

2.1 问题

背包问题: 有一个背包, 容量为 4磅, 现有如下物品

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

要求:

1.达到目标为 装入的背包的总价值最大, 并且重量不超出

2.装入物品不能重复

2.2 思路

1.背包问题主要是一个给定容量的背包,若干具有一定价值和重量的物品, 如何选择物品放入背包使物品的价值最大. 其中又分 01背包和完全背包(完全背包指每种物品都有无限可用)

2.这里的问题属于 01背包, 即每个物品最多放一个, 而无限背包可以转化 01背包.

3.算法的主要思想: 利用动态规划来解决. 每次遍历的 第 i 个物品, 根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中.即对于给定的n个物品. 设v[i], w[i]分别为第 i 个物品的价值 和 重量, C为背包的容量. 再令v[i] [j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值. 则我们有下面的结果:

(1)v[i] [0] = v[0] [j] = 0;//表示 填入表 第一行和第一列 是0

(2)当w[i] > j 时, v[i] [j] = v[i - 1] [j] //当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时, 就直接使用上一个单元格的装入策略;

(3) 当j>=w[i]时, v[i] [j] = max{v[i-1] [j], v[i] + v[i-1] [j - w[i]]}

//当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量

//装入的方式

v[i-1] [j], 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i]:表示当前商品的价值

v[i-1] [j-w[i]], 装入i -1商品, 到剩余空间 j - w[i] 的最大值

当 j >= w[i]时, v[i] [j] = max{v[i - 1] [j], v[i] +v[i - 1] [j - w[i]]}

image.png

2.3 代码

public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //物品的价值, 这里val[i] 就是前面 v[i]
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包的容量
        int m = 4;
        //物品的个数
        int n = val.length;
        //创建二维数组
        //v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m + 1];
        //为了记录放入商品的情况, 我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中, 可以不去处理, 因为默认就是0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            //将第一列设置为0
            v[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            //将第一行设置0
            v[0][i] = 0;
        }

        //根据前面得到公式来动态规划处理
        //不处理第一行 i是 从1开始的
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            //不处理第一列, j是从1开始的
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                //公式
                //因为我们程序i 是从1开始的, 因此原来公式中的 w[i-1]
                if (w[i - 1] > j) {
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                } else {
                    //说明
                    //因为我们的 i 从1开始的, 因此公式需要调整成
                    //v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i - 1] + v[i-1][j- w[i-1]])
                    //为了记录商品存放到背包的情况, 我们不能直接的使用上面的公式, 需要使用if-else 来体现公式
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j-w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j-w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //输出一下v看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.println(v[i][j] + "");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("============================");

        //输出最后我们是放入的那些商品
        //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
//                if (path[i][j] == 1) {
//                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//                }
//            }
//        }

        //动脑筋
        //行的最大下标
        int i = path.length - 1;
        //列的最大下标
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                //w[i - 1]
                j = w[i - 1];
            }
            i --;
        }
    }

}