一課線性代數

——那些数学老师忘了告诉你的事情(2013-08-18)

你数学老师没告诉你，行列式就是一标示向量是否线性独立的函数吗

学线代的时候我就很奇怪，行列式不就是一种简记吗？为什么会有这么奇特的定义！置换、逆序……你妹哦！学了抽象代数以后，隐隐约约觉得线性代数应该是抽象代数的一个实例，但终究理不清他们之间的联系。后来听龚昇老师说，线代其实就是一主理想整环上的模？？？

跑题了。看了一点Sheldon Axler 的《线性代数应该这样学》后，越发认同作者的观点——教线代就应该从向量开始，神马行列式就是扰人的玩意。在你费心巴力疏通了若干概念之后才发现，行列式不过就一判断向量组是否线性独立的函数。

我们想找到一个函数D() ，能判断一组向量是否线性独立。那么，它起码要满足：

若向量组中有两个向量相同，则这组向量线性依存（即线性无关）。推而广之，若其中的某个向量能用向量组中的其他向量线性表出，这组向量仍然线性依存。

后面我们会看到，比起上面条基本性质，下面这些“附加条约”更重要一些，甚至可以唯一确定我们想找的函数。

首先是线性可加性（其实数学界喜欢叫它“多线性”，大概是多个维度都满足线性的意思吧）：

这倒好理解，毕竟研究的是具有线性性质的代数嘛。下面这条（交替性）就不那么好理解了：

就这么两条就足以唯一确定D() ！

我们先展开个D(v_1, v_2) 看看：

是不是还在纠结系数的足标和基向量足标的关系？其实直接用上面带Σ的那个线性可加性质展开就行了：

利用“含相同向量的向量组线性相依”，可以让所有不是1到n 的排列的项消失。再借助交替性质，可以把D(e_i_1, ... , e_i_n) 通通化成D(e_1, ... , e_n) 的形式，不过前面多了(i_1, ... , i_n) 的逆序数个负号。最后定义D(e_1, ... , e_n) = 1（而这也是行列式能把一组向量映射为一个数的关键），这个世界又可以清净一会了。这就是为什么行列式的定义会和“排列”、“逆序数”搭上线的原因-_-!

故事并没有结束。试想为什么行列式只对方阵有定义？如果我们能定义任意一组基的行列式值，我们就能定义任意矩阵的行列式。为什么不把D(e_1, ... , e_n) 定义为“真”？

好吧，我骗了大家，行列式并不是什么指示向量组是否线性独立的函数，而是这组向量所构成的高维立方体的“体积”。

这种考虑最初是在wiki上看到的，后面发现项武义老师的《基础代数学》第五章也是用的这种思路。