2021考研数学 高数 第一章 函数 极限 连续

文章目录

    • 1. 背景
    • 2. 极限的存在准则
      • 2.1. 夹逼准则
      • 2.2. 单调有界准则
    • 3. 常用的求极限方法(8种)
      • 3.1. 方法1 用基本极限求极限
      • 3.2. 方法2 利用等价无穷小代换
      • 3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限
      • 3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限
      • 3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限
      • 3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限
      • 3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限
      • 3.8. 方法8 利用定积分定义求极限(见第五章)
    • 4. 函数的连续性
      • 4.1. 连续的定义
      • 4.2. 间断点的分类
      • 4.3. 闭区间上连续函数的性质
    • 5. 总结


1. 背景

前段时间复习完了高数第一章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 极限的存在准则

2.1. 夹逼准则

若存在 N N N,当 n > N n>N n>N时, x n ≤ y n ≤ z n x_n \leq y_n \leq z_n xnynzn ,且 lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ z n = a \lim\limits_{ {n\to \infty }}{x_n} = \lim\limits_{ {n\to \infty }}{z_n} = a nlimxn=nlimzn=a,则 lim ⁡ n → ∞ y n = a \lim\limits_{ {n\to \infty }}{y_n} = a nlimyn=a.

2.2. 单调有界准则

单调有界函数必有极限,即单调增(减)有上(下)界的函数必有极限。


3. 常用的求极限方法(8种)

3.1. 方法1 用基本极限求极限

  • 常用的基本极限

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 (1.1) \lim_{ {x\to 0 }}{\sin x\over{x}} = 1 \tag{1.1} x0limxsinx=1(1.1)

lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e (1.2) \lim_{ {x\to 0 }}{(1+x)^{1\over{x}}} = e \tag{1.2} x0lim(1+x)x1=e(1.2)

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e (1.3) \lim_{ {x\to \infty }}{(1+{1\over{x}})^x} = e \tag{1.3} xlim(1+x1)x=e(1.3)

lim ⁡ x → 0 a x − 1 x = ln ⁡ a (1.4) \lim_{ {x\to 0 }}{ {a^x - 1}\over{x}} = \ln{a} \tag{1.4} x0limxax1=lna(1.4)

lim ⁡ n → ∞ n n = 1 (1.5) \lim_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {n}}} = 1 \tag{1.5} nlimnn =1(1.5)

lim ⁡ n → ∞ a n = 1 , ( a > 0 ) (1.6) \lim_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {a}}} = 1,(a>0) \tag{1.6} nlimna =1,(a>0)(1.6)

lim ⁡ x → ∞ a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 b n x n + b n − 1 x n − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 = { a n b m , n = m 0 , n < m ∞ , n > m (1.7) \lim_{ {x\to \infty }}{ { {a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + a_1x + a_0 }\over{ {b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + b_1x + b_0}} = { \left\{ \begin{aligned} &{a_n\over{b_m}}, &n=m\\ &{0}, &nm\\ \end{aligned}\right. } \tag{1.7} xlimbnxn+bn1xn1++b1x+b0anxn+an1xn1++a1x+a0=bman,0,,n=mn<mn>m(1.7)

注:趋向于无穷时看高次项,趋向于0时看低次项

  • 1 ∞ 1^{\infty} 1” 型极限常用结论

lim ⁡ a ( x ) = 0 , lim ⁡ β ( x ) = ∞ \lim a(x) = 0, \lim \beta(x) = \infty lima(x)=0,limβ(x)=,且 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = A \lim \alpha(x)\beta(x) = A limα(x)β(x)=A,则
lim ⁡ [ 1 + α ( x ) ] β ( x ) = e A \lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A lim[1+α(x)]β(x)=eA

可以归纳为以下三步:

  1. 写标准形式:原式 = lim ⁡ [ 1 + α ( x ) ] β ( x ) =\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} =lim[1+α(x)]β(x)
  2. 求极限: lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = A \lim\alpha(x)\beta(x) = A limα(x)β(x)=A
  3. 写结果:原式 = e A =e^A =eA.

3.2. 方法2 利用等价无穷小代换

  • 常用的等价无穷小 x → 0 x\to 0 x0

x ∼ sin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arcsin ⁡ x ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ e x − 1 (1.8) x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln(1+x) \sim e ^ x - 1 \tag{1.8} xsinxtanxarcsinxln(1+x)ex1(1.8)

( 1 + x ) α − 1 ∼ α x (1.9) (1 + x) ^ \alpha - 1\sim \alpha x \tag{1.9} (1+x)α1αx(1.9)

a x − 1 ∼ x ln ⁡ a (1.10) a^x - 1 \sim x\ln a \tag{1.10} ax1xlna(1.10)

1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 (1.11) 1 - \cos x \sim {1\over{2}} x ^ 2 \tag{1.11} 1cosx21x2(1.11)

x − ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 (1.12) x - \ln(1+x) \sim {1\over{2}} x^2 \tag{1.12} xln(1+x)21x2(1.12)

tan ⁡ x − x ∼ 1 3 x 3 (1.13) \tan x - x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.13} tanxx31x3(1.13)

x − arctan ⁡ x ∼ 1 3 x 3 (1.14) x - \arctan x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.14} xarctanx31x3(1.14)

x − s i n x ∼ 1 6 x 3 (1.15) x - sin x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.15} xsinx61x3(1.15)

arcsin ⁡ x − x ∼ 1 6 x 3 (1.16) \arcsin x - x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.16} arcsinxx61x3(1.16)

  • 证明(1.8-1.16) 常用的等价无穷小都可以用洛必达法则证明

  • 推论

1 − cos ⁡ α x ∼ α 2 x 2 (1.17) 1 - \cos^\alpha x \sim {\alpha\over{2}}x^2 \tag{1.17} 1cosαx2αx2(1.17)

  • 证明(1.17)

1 − [ 1 + ( cos ⁡ x − 1 ) ] α ∼ α ( 1 − cos ⁡ x ) ∼ α 2 x 2 {1 - [1 + (\cos x - 1)]^ \alpha} \sim \alpha(1 - \cos x) \sim {\alpha\over{2}}x^2 1[1+(cosx1)]αα(1cosx)2αx2

3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限

3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限

  • 使用条件
    • f ( x ) n f(x)n f(x)n可导
    • 则洛必达法则可使用至求出 f ( n − 1 ) ( x ) f^{(n-1)}(x) f(n1)(x),即 f ( x ) f(x) f(x) n − 1 n-1 n1阶导数
    • f ( x ) f(x) f(x) n n n连续导数
      • 则洛必达法则可使用至求出 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x),即 f ( x ) f(x) f(x) n n n阶导数
    • f ( x ) n f(x)n f(x)n可导,且求出 f ( n − 1 ) ( x ) f^{(n-1)}(x) f(n1)(x)后极限仍为 0 0 \frac{0}{0} 00
      • 则考虑使用等价无穷小导数定义

3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限

  • 定理(带Peano余项的泰勒公式) 设 f ( x ) f(x) f(x) x = x 0 x = x_0 x=x0 n n n阶可导,则

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] , x ∈ U ( x 0 ) (1.18) f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{ {n=0}}^{ { \infty }}\frac{ {1}}{ {n!}}\mathop{ {f}}\nolimits^{ {(n)}}{ \left( {\mathop{ {x}}\nolimits_{ {0}}} \right) }{\mathop{ { \left( {x-\mathop{ {x}}\nolimits_{ {0}}} \right) }}\nolimits^{ {n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{ {x}}\nolimits_{ {0}}} \right) } \tag{1.18} f(x)=n=0n!1f(n)(x0)(xx0)n+o[(xx0)n],xU(x0)(1.18)

特别是当 x 0 = 0 x_0=0 x0=0时,为麦克劳林公式

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n + o ( x n ) , x ∈ U ( 0 ) (1.19) f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{ {n=0}}^{ { \infty }}\frac{ {1}}{ {n!}}\mathop{ {f}}\nolimits^{ {(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{ {x}}\nolimits^{ {n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{1.19} f(x)=n=0n!1f(n)(0)xn+o(xn),xU(0)(1.19)

  • 几个常用的泰勒公式

e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + o ( x n ) (1.20) e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + o(x^n) \tag{1.20} ex=1+x+2!x2++n!xn+o(xn)(1.20)

sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n ) ! + o ( x 2 n − 1 ) (1.21) \sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{ {x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n-1}) \tag{1.21} sin(x)=x3!x3++(1)n1(2n)!x2n1+o(x2n1)(1.21)

cos ⁡ ( x ) = 1 − x 2 2 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n ) (1.22) \cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{ {x^{2n}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n}) \tag{1.22} cos(x)=12!x2++(1)n(2n)!x2n+o(x2n)(1.22)

ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) (1.23) \ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{ {x^{n}\over{n}}} + o(x^{n}) \tag{1.23} ln(1+x)=x2x2++(1)n1nxn+o(xn)(1.23)

( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + [ α ! / ( α − n ) ! ] n ! x n + o ( x n ) (1.24) (1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + o(x^n) \tag{1.24} (1+x)α=1+αx+2!α(α1)x2++n![α!/(αn)!]xn+o(xn)(1.24)

3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限

  • 常用结论

lim ⁡ n → ∞ a 1 n + a 2 n + ⋯ + a m n n = m a x { a i } (1.25) \lim\limits_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.25} nlimna1n+a2n++amn =max{ ai}(1.25)
其中 a i > 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) a_i > 0, (i = 1, 2, \cdots, m) ai>0,(i=1,2,,m)

  • 证明公式1.25

m a x { a i } = a max\{a_i\} = a max{ ai}=a,则
a n n < a 1 n + a 2 n + ⋯ + a m n n < m a n n \sqrt[n]{a^n} < {\sqrt[{n}]{ {a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} < \sqrt[n]{ma^n} nan <na1n+a2n++amn <nman

lim ⁡ n → ∞ a n n = a \lim\limits_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {a^n}}} = a nlimnan =a

lim ⁡ n → ∞ m a n n = a \lim\limits_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {ma^n}}} = a nlimnman =a
根据夹逼准则
lim ⁡ n → ∞ a 1 n + a 2 n + ⋯ + a m n n = m a x { a i } (1.26) \lim\limits_{ {n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{ {a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.26} nlimna1n+a2n++amn =max{ ai}(1.26)

3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限

  • 基本不等式

2 1 a + 1 b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 {2\over{ {1\over{a}} + {1\over{b}}}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a ^ 2 + b ^ 2}{2}} a1+b12ab 2a+b2a2+b2

3.8. 方法8 利用定积分定义求极限(见第五章)


4. 函数的连续性

4.1. 连续的定义

  • 连续的定义

y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某领域内有定义,若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) = f(x_0)} xx0limf(x)=f(x0)则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续。

  • 左连续的定义

lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} = f(x_0) xx0limf(x)=f(x0) ,则称$ y = f(x) 在 点 在点 x_0$处左连续。

  • 右连续的定义

lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = f(x_0) xx0+limf(x)=f(x0) ,则称$ y = f(x) 在 点 在点 x_0$处右连续。

  • 定理

函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续。

4.2. 间断点的分类

  • 第一类间断点

    • 定义:左右极限都存在的间断点成为第一类间断点
      • 可去间断点
        • 定义:左右极限都存在相等的间断点成为可去间断点
      • 跳跃间断点
        • 定义:左右极限都存在不相等的间断点成为跳跃间断点
  • 第二类间断点

    • 定义:左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点
      • 无穷间断点

        • 定义:若 lim ⁡ x → x 0 − = ∞ \lim\limits_{x \to x_0^-} = \infty xx0lim= lim ⁡ x → x 0 + = ∞ \lim\limits_{x \to x_0^+} = \infty xx0+lim=, 则称 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的无穷间断点
      • 震荡间断点

        • 定义:左右极限振荡不存在的间断点,叫做振荡间断点,其中振荡是不可以解出的答案,极限完全不存在,如 s i n 1 x sin \frac{1}{x} sinx1.
      • 其他

注:在答题时,一般来说,第一类间断点需要说明是可去间断点还是跳跃间断点,如无特殊要求,第二类间断点只需要声明为第二类间断点。

4.3. 闭区间上连续函数的性质

  • 最值定理
    • f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a, b] [a,b]上必有最大值与最小值
  • 有界性定理
    • f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续,则在 [ a , b ] [a, b] [a,b]上必有界
  • 介值定理
    • f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续,且 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\ne f(b) f(a)=f(b),则对于任意介于 f ( a ) f(a) f(a) f ( b ) f(b) f(b)之间的数 C C C,至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ(a,b),使 f ( ξ ) = C f(\xi) = C f(ξ)=C.
    • 推论:若 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a, b] [a,b]上可取到介于最小值 m m m 和最大值 M M M 之间的任何值
  • 零点定理
    • f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]上连续,且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a) \cdot f(b) < 0 f(a)f(b)<0,则至少存在一点 ξ ∈ [ a , b ] \xi \in [a,b] ξ[a,b],使 f ( ξ ) = 0 f(\xi) = 0 f(ξ)=0.

5. 总结

  1. 函数
    • 性质
    • 复合
  2. 极限
    • 极限概念与性质
    • 求极限
    • 无穷小阶的比较
  3. 连续
    • 间断点类型
    • 闭区间上连续函数的性质

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