2021考研数学 高数 第一章 函数 极限 连续

---

1. 背景

前段时间复习完了高数第一章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 极限的存在准则

2.1. 夹逼准则

若存在$N$，当$n>N$时，$x_n\le y_n\le z_n$ ，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a$.

2.2. 单调有界准则

单调有界函数必有极限，即单调增（减）有上（下）界的函数必有极限。

---

3. 常用的求极限方法（8种）

3.1. 方法1 用基本极限求极限

• 常用的基本极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1,(a>0)\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{rlr}& \frac{a_n}{b_m},& n=m\\ & 0,& n<m\\ & \infty ,& n>m\end{array}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

注：趋向于无穷时看高次项，趋向于0时看低次项

• “$1^{\infty }$” 型极限常用结论

若$\lim a(x)=0,\lim \beta (x)=\infty$，且$\lim \alpha (x)\beta (x)=A$，则
$$\lim [1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}=e^A$$

可以归纳为以下三步：

1. 写标准形式：原式 $=\lim [1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}$；
2. 求极限：$\lim \alpha (x)\beta (x)=A$；
3. 写结果：原式$=e^A$.

3.2. 方法2 利用等价无穷小代换

• 常用的等价无穷小 当$x\to 0$时

$$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

$$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

$$a^x-1\sim x\ln a\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

$$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

$$x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

$$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

$$x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

$$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

$$\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

• 证明（1.8-1.16） 常用的等价无穷小都可以用洛必达法则证明

• 推论

$$1-{\cos }^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

• 证明（1.17）

$$1-[1+(\cos x-1){]}^{\alpha }\sim \alpha (1-\cos x)\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$$

3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限

3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限

• 使用条件
  • 若$f(x)n$阶可导
  • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n-1)}(x)$，即$f(x)$的$n-1$阶导数
  • 若$f(x)$有$n$阶连续导数
    • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n)}(x)$，即$f(x)$的$n$阶导数
  • 若$f(x)n$阶可导，且求出$f^{(n-1)}(x)$后极限仍为$\frac{0}{0}$型
    • 则考虑使用等价无穷小或导数定义

3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限

• 定理（带Peano余项的泰勒公式） 设$f(x)$在$x=x_0$处$n$阶可导，则

$$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^n+o[(x-x_0{)}^n],x\in U\left(x_0\right)\text{\hspace{1em}(1.18)}$$

特别是当$x_0=0$时，为麦克劳林公式

$$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{f}^{(n)}\left(0\right)x^n+o(x^n),x\in U\left(0\right)\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

• 几个常用的泰勒公式

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}+o(x^{2n-1})\text{\hspace{1em}(1.21)}$$

$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\text{\hspace{1em}(1.22)}$$

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\text{\hspace{1em}(1.23)}$$

$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{[\alpha !/(\alpha -n)!]}{n!}{x}^n+o(x^n)\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限

• 常用结论

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=max\{a_i\}\text{\hspace{1em}(1.25)}$$
其中$a_i>0,(i=1,2,\cdots ,m)$

• 证明公式1.25

令$max\{a_i\}=a$，则
$$\sqrt[n]{a^n}<\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}<\sqrt[n]{m{a}^n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a^n}=a$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{m{a}^n}=a$$
根据夹逼准则
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=max\{a_i\}\text{\hspace{1em}(1.26)}$$

3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限

• 基本不等式

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

3.8. 方法8 利用定积分定义求极限（见第五章）

---

4. 函数的连续性

4.1. 连续的定义

• 连续的定义

设$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$则称$f(x)$在点$x_0$处连续。

• 左连续的定义

若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$ ，则称$ y = f(x) $在点$x_0$处左连续。

• 右连续的定义

若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$ ，则称$ y = f(x) $在点$x_0$处右连续。

• 定理

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

4.2. 间断点的分类

• 第一类间断点

  • 定义：左右极限都存在的间断点成为第一类间断点
    • 可去间断点
      • 定义：左右极限都存在且相等的间断点成为可去间断点
    • 跳跃间断点
      • 定义：左右极限都存在但不相等的间断点成为跳跃间断点

• 第二类间断点

  • 定义：左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点

    • 无穷间断点

      • 定义：若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }=\infty$ 或 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }=\infty$， 则称$x_0$为$f(x)$的无穷间断点

    • 震荡间断点

      • 定义：左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在，如$sin\frac{1}{x}$.

    • 其他

注：在答题时，一般来说，第一类间断点需要说明是可去间断点还是跳跃间断点，如无特殊要求，第二类间断点只需要声明为第二类间断点。

4.3. 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值与最小值
• 有界性定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上必有界
• 介值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi )=C$.
  • 推论：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的任何值
• 零点定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=0$.

---

5. 总结

1. 函数
   • 性质
   • 复合
2. 极限
   • 极限概念与性质
   • 求极限
   • 无穷小阶的比较
3. 连续
   • 间断点类型
   • 闭区间上连续函数的性质