数学基础知识
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高等数学
1.导数定义：
导数和微分的概念
f′(x0)= f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0) （1）
或者：
f′(x0)= f(x)−f(x0)x−x0f'({ {x}_{0}})=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0) （2）
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的左、右导数分别定义为：
左导数：f′−(x0)= f(x0+Δx)−f(x0)Δx= f(x)−f(x0)x−x0,(x=x0+Δx){ { {f}'}_{-}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}},(x={ {x}_{0}}+\Delta x)f′−(x0)=Δx→0−limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0),(x=x0+Δx)
右导数：f′+(x0)= f(x0+Δx)−f(x0)Δx= f(x)−f(x0)x−x0{ { {f}'}_{+}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}f′+(x0)=Δx→0+limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可微⇔f(x)\Leftrightarrow f(x)⇔f(x)在x0x_0x0处可导
Th2: 若函数在点x0x_0x0处可导，则y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3: f′(x0){f}'({ {x}_{0}})f′(x0)存在⇔f′−(x0)=f′+(x0)\Leftrightarrow { { {f}'}_{-}}({ {x}_{0}})={ { {f}'}_{+}}({ {x}_{0}})⇔f′−(x0)=f′+(x0)
4.平面曲线的切线和法线
切线方程 : y−y0=f′(x0)(x−x0)y-{ {y}_{0}}=f'({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})y−y0=f′(x0)(x−x0) 法线方程：y−y0=−1f′(x0)(x−x0),f′(x0)≠0y-{ {y}_{0}}=-\frac{1}{f'({ {x}_{0}})}(x-{ {x}_{0}}),f'({ {x}_{0}})\ne 0y−y0=−f′(x0)1(x−x0),f′(x0)=0
5.四则运算法则 设函数u=u(x)，v=v(x)u=u(x)，v=v(x)u=u(x)，v=v(x)]在点xxx可导则 (1) (u±v)′=u′±v′(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'(u±v)′=u′±v′ d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dvd(u±v)=du±dv (2)(uv)′=uv′+vu′(uv{)}'=u{v}'+v{u}'(uv)′=uv′+vu′ d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu (3) (uv)′=vu′−uv′v2(v≠0)(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{ { {v}^{2}}}(v\ne 0)(vu)′=v2vu′−uv′(v=0) d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{ { {v}^{2}}}d(vu)=v2vdu−udv
6.基本导数与微分表
(1) y=cy=cy=c（常数） y′=0{y}'=0y′=0 dy=0dy=0dy=0
(2) y=xαy={ {x}^{\alpha }}y=xα(α\alphaα为实数) y′=αxα−1{y}'=\alpha { {x}^{\alpha -1}}y′=αxα−1 dy=αxα−1dxdy=\alpha { {x}^{\alpha -1}}dxdy=αxα−1dx
(3) y=axy={ {a}^{x}}y=ax y′=axlna{y}'={ {a}^{x}}\ln ay′=axlna dy=axlnadxdy={ {a}^{x}}\ln adxdy=axlnadx 特例: (ex)′=ex({ { {e}}^{x}}{)}'={ { {e}}^{x}}(ex)′=ex d(ex)=exdxd({ { {e}}^{x}})={ { {e}}^{x}}dxd(ex)=exdx
(4) y=logaxy={ {\log }_{a}}xy=logax y′=1xlna{y}'=\frac{1}{x\ln a}y′=xlna1
dy=1xlnadxdy=\frac{1}{x\ln a}dxdy=xlna1dx 特例:y=lnxy=\ln xy=lnx (lnx)′=1x(\ln x{)}'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1 d(lnx)=1xdxd(\ln x)=\frac{1}{x}dxd(lnx)=x1dx
(5) y=sinxy=\sin xy=sinx
y′=cosx{y}'=\cos xy′=cosx d(sinx)=cosxdxd(\sin x)=\cos xdxd(sinx)=cosxdx
(6) y=cosxy=\cos xy=cosx
y′=−sinx{y}'=-\sin xy′=−sinx d(cosx)=−sinxdxd(\cos x)=-\sin xdxd(cosx)=−sinxdx
(7) y=tanxy=\tan xy=tanx
y′=1cos2x=sec2x{y}'=\frac{1}{ { {\cos }^{2}}x}={ {\sec }^{2}}xy′=cos2x1=sec2x d(tanx)=sec2xdxd(\tan x)={ {\sec }^{2}}xdxd(tanx)=sec2xdx (8) y=cotxy=\cot xy=cotx y′=−1sin2x=−csc2x{y}'=-\frac{1}{ { {\sin }^{2}}x}=-{ {\csc }^{2}}xy′=−sin2x1=−csc2x d(cotx)=−csc2xdxd(\cot x)=-{ {\csc }^{2}}xdxd(cotx)=−csc2xdx (9) y=secxy=\sec xy=secx y′=secxtanx{y}'=\sec x\tan xy′=secxtanx
d(secx)=secxtanxdxd(\sec x)=\sec x\tan xdxd(secx)=secxtanxdx (10) y=cscxy=\csc xy=cscx y′=−cscxcotx{y}'=-\csc x\cot xy′=−cscxcotx
d(cscx)=−cscxcotxdxd(\csc x)=-\csc x\cot xdxd(cscx)=−cscxcotxdx (11) y=arcsinxy=\arcsin xy=arcsinx
y′=11−x2{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}y′=1−x2
1
d(arcsinx)=11−x2dxd(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dxd(arcsinx)=1−x2
1dx (12) y=arccosxy=\arccos xy=arccosx
y′=−11−x2{y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}y′=−1−x2
1 d(arccosx)=−11−x2dxd(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dxd(arccosx)=−1−x2
1dx
(13) y=arctanxy=\arctan xy=arctanx
y′=11+x2{y}'=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}y′=1+x21 d(arctanx)=11+x2dxd(\arctan x)=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dxd(arctanx)=1+x21dx
(14) y=arccotxy=\operatorname{arc}\cot xy=arccotx
y′=−11+x2{y}'=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}y′=−1+x21
d(arccotx)=−11+x2dxd(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dxd(arccotx)=−1+x21dx (15) y=shxy=shxy=shx
y′=chx{y}'=chxy′=chx d(shx)=chxdxd(shx)=chxdxd(shx)=chxdx
(16) y=chxy=chxy=chx
y′=shx{y}'=shxy′=shx d(chx)=shxdxd(chx)=shxdxd(chx)=shxdx
7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1) 反函数的运算法则: 设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点xxx的某邻域内单调连续，在点xxx处可导且f′(x)≠0{f}'(x)\ne 0f′(x)=0，则其反函数在点xxx所对应的yyy处可导，并且有dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}dxdy=dydx1
(2) 复合函数的运算法则:若 μ=φ(x)\mu =\varphi(x)μ=φ(x) 在点xxx可导,而y=f(μ)y=f(\mu)y=f(μ)在对应点μ\muμ(μ=φ(x)\mu =\varphi (x)μ=φ(x))可导,则复合函数y=f(φ(x))y=f(\varphi (x))y=f(φ(x))在点xxx可导,且y′=f′(μ)⋅φ′(x){y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)y′=f′(μ)⋅φ′(x)
(3) 隐函数导数dydx\frac{dy}{dx}dxdy的求法一般有三种方法：
1)方程两边对xxx求导，要记住yyy是xxx的函数，则yyy的函数是xxx的复合函数.例如1y\frac{1}{y}y1，y2{ {y}^{2}}y2，lnyln ylny，ey{ { {e}}^{y}}ey等均是xxx的复合函数. 对xxx求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0知 dydx=−F′x(x,y)F′y(x,y)\frac{dy}{dx}=-\frac{ { { { {F}'}}_{x}}(x,y)}{ { { { {F}'}}_{y}}(x,y)}dxdy=−F′y(x,y)F′x(x,y),其中，F′x(x,y){ { {F}'}_{x}}(x,y)F′x(x,y)， F′y(x,y){ { {F}'}_{y}}(x,y)F′y(x,y)分别表示F(x,y)F(x,y)F(x,y)对xxx和yyy的偏导数
3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
（1）(ax) (n)=axlnna(a>0)(ex) (n)=e x({ {a}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={ {a}^{x}}{ {\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({ { {e}}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={e}{ {\,}^{x}}(ax)(n)=axlnna(a>0)(ex)(n)=ex
（2）(sinkx) (n)=knsin(kx+n⋅π2)(\sin kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅2π)
（3）(coskx) (n)=kncos(kx+n⋅π2)(\cos kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅2π)
（4）(xm) (n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n({ {x}^{m}}){ {\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){ {x}^{m-n}}(xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n
（5）(lnx) (n)=(−1)(n−1)(n−1)!xn(\ln x){ {\,}^{(n)}}={ {(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{ { {x}^{n}}}(lnx)(n)=(−1)(n−1)xn(n−1)!
（6）莱布尼兹公式：若u(x) ,v(x)u(x)\,,v(x)u(x),v(x)均nnn阶可导，则 (uv)(n)=∑i=0ncniu(i)v(n−i){ {(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{ {u}^{(i)}}{ {v}^{(n-i)}}}(uv)(n)=i=0∑ncniu(i)v(n−i)，其中u(0)=u{ {u}^{({0})}}=uu(0)=u，v(0)=v{ {v}^{({0})}}=vv(0)=v
9.微分中值定理，泰勒公式
Th1:(费马定理)
若函数f(x)f(x)f(x)满足条件： (1)函数f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 f(x)≤f(x0)f(x)\le f({ {x}_{0}})f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)f(x)\ge f({ {x}_{0}})f(x)≥f(x0),
(2) f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0处可导,则有 f′(x0)=0{f}'({ {x}_{0}})=0f′(x0)=0
Th2:(罗尔定理)
设函数f(x)f(x)f(x)满足条件： (1)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；
(2)在(a,b)(a,b)(a,b)内可导；
(3)f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)；
则在(a,b)(a,b)(a,b)内一存在个ξ\xiξ，使 f′(ξ)=0{f}'(\xi )=0f′(ξ)=0
Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数f(x)f(x)f(x)满足条件： (1)在[a,b][a,b][a,b]上连续；
(2)在(a,b)(a,b)(a,b)内可导；
则在(a,b)(a,b)(a,b)内一存在个ξ\xiξ，使 f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )b−af(b)−f(a)=f′(ξ)
Th4: (柯西中值定理)
设函数f(x)f(x)f(x)，g(x)g(x)g(x)满足条件： (1) 在[a,b][a,b][a,b]上连续；
(2) 在(a,b)(a,b)(a,b)内可导且f′(x){f}'(x)f′(x)，g′(x){g}'(x)g′(x)均存在，且g′(x)≠0{g}'(x)\ne 0g′(x)=0
则在(a,b)(a,b)(a,b)内存在一个ξ\xiξ，使 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{ {f}'(\xi )}{ {g}'(\xi )}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
10.洛必达法则 法则Ⅰ (00\frac{0}{0}00型) 设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)满足条件： f(x)=0, g(x)=0\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0x→x0limf(x)=0,x→x0limg(x)=0;
f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)在x0{ {x}_{0}}x0的邻域内可导，(在x0{ {x}_{0}}x0处可除外)且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0;
f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg′(x)f′(x)存在(或∞\infty∞)。
则: f(x)g(x)= f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x)。 法则I′{ {I}'}I′ (00\frac{0}{0}00型)设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)满足条件： f(x)=0, g(x)=0\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0x→∞limf(x)=0,x→∞limg(x)=0;
存在一个X>0X>0X>0,当∣x∣>X\left| x \right|>X∣x∣>X时,f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x)可导,且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0; f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg′(x)f′(x)存在(或∞\infty∞)。
则 f(x)g(x)= f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x) 法则Ⅱ( ∞∞\frac{\infty }{\infty }∞∞ 型) 设函数 f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x) 满足条件： f(x)=∞, g(x)=∞\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\inftyx→x0limf(x)=∞,x→x0limg(x)=∞;
f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)f(x),g(x) 在 x0{ {x}_{0}}x0 的邻域内可导(在x0{ {x}_{0}}x0处可除外)且g′(x)≠0{g}'\left( x \right)\ne 0g′(x)=0; f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg′(x)f′(x) 存在(或∞\infty∞)。 则 f(x)g(x)= f′(x)g′(x)\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x) 同理法则II′{I{I}'}II′ ( ∞∞\frac{\infty }{\infty }∞∞ 型)仿法则 I′{ {I}'}I′ 可写出。
11.泰勒公式
设函数f(x)f(x)f(x)在点x0{ {x}_{0}}x0处的某邻域内具有n+1n+1n+1阶导数，则对该邻域内异于x0{ {x}_{0}}x0的任意点xxx，在x0{ {x}_{0}}x0与xxx之间至少存在 一个ξ\xiξ，使得： f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12!f′′(x0)(x−x0)2+⋯f(x)=f({ {x}_{0}})+{f}'({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({ {x}_{0}}){ {(x-{ {x}_{0}})}^{2}}+\cdotsf(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!1f′′(x0)(x−x0)2+⋯ +f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)+\frac{ { {f}^{(n)}}({ {x}_{0}})}{n!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x) 其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1{ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n+1}}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1称为f(x)f(x)f(x)在点x0{ {x}_{0}}x0处的nnn阶泰勒余项。
令x0=0{ {x}_{0}}=0x0=0，则nnn阶泰勒公式 f(x)=f(0)+f′(0)x+12!f′′(0)x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {f}^{(n)}}(0)}{n!}{ {x}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)f(x)=f(0)+f′(0)x+2!1f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x)……(1) 其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1{ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)xn+1，ξ\xiξ在0与xxx之间.(1)式称为麦克劳林公式
常用五种函数在x0=0{ {x}_{0}}=0x0=0处的泰勒公式
(1) ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+xn+1(n+1)!eξ{ { {e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}{ {e}^{\xi }}ex=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+(n+1)!xn+1eξ
或 =1+x+12!x2+⋯+1n!xn+o(xn)=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+o(xn)
(2) sinx=x−13!x3+⋯+xnn!sinnπ2+xn+1(n+1)!sin(ξ+n+12π)\sin x=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )sinx=x−3!1x3+⋯+n!xnsin2nπ+(n+1)!xn+1sin(ξ+2n+1π)
或 =x−13!x3+⋯+xnn!sinnπ2+o(xn)=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})=x−3!1x3+⋯+n!xnsin2nπ+o(xn)
(3) cosx=1−12!x2+⋯+xnn!cosnπ2+xn+1(n+1)!cos(ξ+n+12π)\cos x=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )cosx=1−2!1x2+⋯+n!xncos2nπ+(n+1)!xn+1cos(ξ+2n+1π)
或 =1−12!x2+⋯+xnn!cosnπ2+o(xn)=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})=1−2!1x2+⋯+n!xncos2nπ+o(xn)
(4) ln(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−1xnn+(−1)nxn+1(n+1)(1+ξ)n+1\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+\frac{ { {(-1)}^{n}}{ {x}^{n+1}}}{(n+1){ {(1+\xi )}^{n+1}}}ln(1+x)=x−21x2+31x3−⋯+(−1)n−1nxn+(n+1)(1+ξ)n+1(−1)nxn+1
或 =x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+o({ {x}^{n}})=x−21x2+31x3−⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)
(5) (1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯+m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn{ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn +m(m−1)⋯(m−n+1)(n+1)!xn+1(1+ξ)m−n−1+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}{ {(1+\xi )}^{m-n-1}}+(n+1)!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+1(1+ξ)m−n−1
或(1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯{ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯ ，+m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn+o(xn)+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+o(xn)
12.函数单调性的判断
Th1: 设函数f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)区间内可导，如果对∀x∈(a,b)\forall x\in (a,b)∀x∈(a,b)，都有f ′(x)>0f\,'(x)>0f′(x)>0（或f ′(x)<0f\,'(x)<0f′(x)<0），则函数f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内是单调增加的（或单调减少）
Th2: （取极值的必要条件）设函数f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0处可导，且在x0{ {x}_{0}}x0处取极值，则f ′(x0)=0f\,'({ {x}_{0}})=0f′(x0)=0。
Th3: （取极值的第一充分条件）设函数f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0的某一邻域内可微，且f ′(x0)=0f\,'({ {x}_{0}})=0f′(x0)=0（或f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0处连续，但f ′(x0)f\,'({ {x}_{0}})f′(x0)不存在。） (1)若当xxx经过x0{ {x}_{0}}x0时，f ′(x)f\,'(x)f′(x)由“+”变“-”，则f(x0)f({ {x}_{0}})f(x0)为极大值； (2)若当xxx经过x0{ {x}_{0}}x0时，f ′(x)f\,'(x)f′(x)由“-”变“+”，则f(x0)f({ {x}_{0}})f(x0)为极小值； (3)若f ′(x)f\,'(x)f′(x)经过x=x0x={ {x}_{0}}x=x0的两侧不变号，则f(x0)f({ {x}_{0}})f(x0)不是极值。
Th4: (取极值的第二充分条件)设f(x)f(x)f(x)在点x0{ {x}_{0}}x0处有f′′(x)≠0f''(x)\ne 0f′′(x)=0，且f ′(x0)=0f\,'({ {x}_{0}})=0f′(x0)=0，则 当f′ ′(x0)<0f'\,'({ {x}_{0}})<0f′′(x0)<0时，f(x0)f({ {x}_{0}})f(x0)为极大值； 当f′ ′(x0)>0f'\,'({ {x}_{0}})>0f′′(x0)>0时，f(x0)f({ {x}_{0}})f(x0)为极小值。 注：如果f′ ′(x0)=0f'\,'({ {x}_{0}})=0f′′(x0)=0，此方法失效。
13.渐近线的求法 (1)水平渐近线 若 f(x)=b\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=bx→+∞limf(x)=b，或 f(x)=b\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=bx→−∞limf(x)=b，则
y=by=by=b称为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的水平渐近线。
(2)铅直渐近线 若 f(x)=∞\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\inftyx→x0−limf(x)=∞，或 f(x)=∞\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\inftyx→x0+limf(x)=∞，则
x=x0x={ {x}_{0}}x=x0称为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的铅直渐近线。
(3)斜渐近线 若a= f(x)x,b= [f(x)−ax]a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]a=x→∞limxf(x),b=x→∞lim[f(x)−ax]，则 y=ax+by=ax+by=ax+b称为y=f(x)y=f(x)y=f(x)的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断 Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0（或f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0），则f(x)f(x)f(x)在I上是凸的（或凹的）。
Th2: (拐点的判别定理1)若在x0{ {x}_{0}}x0处f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0，（或f′′(x)f''(x)f′′(x)不存在），当xxx变动经过x0{ {x}_{0}}x0时，f′′(x)f''(x)f′′(x)变号，则(x0,f(x0))({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))(x0,f(x0))为拐点。
Th3: (拐点的判别定理2)设f(x)f(x)f(x)在x0{ {x}_{0}}x0点的某邻域内有三阶导数，且f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0，f′′′(x)≠0f'''(x)\ne 0f′′′(x)=0，则(x0,f(x0))({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))(x0,f(x0))为拐点。
15.弧微分
dS=1+y′2dxdS=\sqrt{1+y{ {'}^{2}}}dxdS=1+y′2
dx
16.曲率
曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点(x,y)(x,y)(x,y)处的曲率k=∣y′′∣(1+y′2)32k=\frac{\left| y'' \right|}{ { {(1+y{ {'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}k=(1+y′2)23∣y′′∣。 对于参数方程{x=φ(t)y=ψ(t),\left\{\begin{matrix}x=\varphi(t) \\ y=\psi (t) \end{matrix}\right.,{x=φ(t)y=ψ(t), k=∣φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)∣[φ′2(t)+ψ′2(t)]32k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{ { {[\varphi { {'}^{2}}(t)+\psi { {'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}k=[φ′2(t)+ψ′2(t)]23∣φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)∣。
17.曲率半径
曲线在点MMM处的曲率k(k≠0)k(k\ne 0)k(k=0)与曲线在点MMM处的曲率半径ρ\rhoρ有如下关系：ρ=1k\rho =\frac{1}{k}ρ=k1。
线性代数
行列式
1.行列式按行（列）展开定理
(1) 设A=(aij)n×nA = ( a_{ {ij}} )_{n \times n}A=(aij)n×n，则：ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn={∣A∣,i=j0,i≠ja_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{ {in}}A_{ {jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn={∣A∣,i=j0,i=j
或a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj={∣A∣,i=j0,i≠ja_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ {ni}}A_{ {nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj={∣A∣,i=j0,i=j即 AA∗=A∗A=∣A∣E,AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,AA∗=A∗A=∣A∣E,其中：A∗=(A11A12…A1nA21A22…A2n…………An1An2…Ann)=(Aji)=(Aij)TA^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{ {nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{ {ji}}) = {(A_{ {ij}})}^{T}A∗=⎝⎜⎜⎜⎛A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann⎠⎟⎟⎟⎞=(Aji)=(Aij)T
Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n−1x2n−1…xnn−1∣=∏1≤j (2) 设A,BA,BA,B为nnn阶方阵，则∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣，但∣A±B∣=∣A∣±∣B∣\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|∣A±B∣=∣A∣±∣B∣不一定成立。 (3) ∣kA∣=kn∣A∣\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|∣kA∣=kn∣A∣,AAA为nnn阶方阵。 (4) 设AAA为nnn阶方阵，∣AT∣=∣A∣;∣A−1∣=∣A∣−1|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}∣AT∣=∣A∣;∣A−1∣=∣A∣−1（若AAA可逆），∣A∗∣=∣A∣n−1|A^{*}| = |A|^{n - 1}∣A∗∣=∣A∣n−1 n≥2n \geq 2n≥2 (5) ∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|∣∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣∣=∣A∣∣B∣ ，A,BA,BA,B为方阵，但∣OAm×mBn×nO∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{ {mn}}|A||B|∣∣∣∣∣OBn×nAm×mO∣∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣ 。 (6) 范德蒙行列式Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n−1x2n1…xnn−1∣=∏1≤j 设AAA是nnn阶方阵，λi(i=1,2⋯ ,n)\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)λi(i=1,2⋯,n)是AAA的nnn个特征值，则 ∣A∣=∏i=1nλi|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}∣A∣=∏i=1nλi 矩阵 矩阵：m×nm \times nm×n个数aija_{ {ij}}aij排成mmm行nnn列的表格[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{ {mn}} \\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn⎦⎥⎥⎥⎤ 称为矩阵，简记为AAA，或者(aij)m×n\left( a_{ {ij}} \right)_{m \times n}(aij)m×n 。若m=nm = nm=n，则称AAA是nnn阶矩阵或nnn阶方阵。 矩阵的线性运算 1.矩阵的加法 设A=(aij),B=(bij)A = (a_{ {ij}}),B = (b_{ {ij}})A=(aij),B=(bij)是两个m×nm \times nm×n矩阵，则m×nm \times nm×n 矩阵C=cij)=aij+bijC = c_{ {ij}}) = a_{ {ij}} + b_{ {ij}}C=cij)=aij+bij称为矩阵AAA与BBB的和，记为A+B=CA + B = CA+B=C 。 2.矩阵的数乘 设A=(aij)A = (a_{ {ij}})A=(aij)是m×nm \times nm×n矩阵，kkk是一个常数，则m×nm \times nm×n矩阵(kaij)(ka_{ {ij}})(kaij)称为数kkk与矩阵AAA的数乘，记为kA{kA}kA。 3.矩阵的乘法 设A=(aij)A = (a_{ {ij}})A=(aij)是m×nm \times nm×n矩阵，B=(bij)B = (b_{ {ij}})B=(bij)是n×sn \times sn×s矩阵，那么m×sm \times sm×s矩阵C=(cij)C = (c_{ {ij}})C=(cij)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=∑k=1naikbkjc_{ {ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ {in}}b_{ {nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{ {ik}}b_{ {kj}}}cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=∑k=1naikbkj称为AB{AB}AB的乘积，记为C=ABC = ABC=AB 。 4. AT\mathbf{A}^{\mathbf{T}}AT、A−1\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}A−1、A∗\mathbf{A}^{\mathbf{*}}A∗三者之间的关系 (1) (AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT{(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}(AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT (2) (A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(kA)−1=1kA−1,\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},(A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(kA)−1=k1A−1, 但 (A±B)−1=A−1±B−1{(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}(A±B)−1=A−1±B−1不一定成立。 (3) (A∗)∗=∣A∣n−2 A (n≥3)\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)(A∗)∗=∣A∣n−2 A (n≥3)，(AB)∗=B∗A∗,\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},(AB)∗=B∗A∗, (kA)∗=kn−1A∗ (n≥2)\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)(kA)∗=kn−1A∗ (n≥2) 但(A±B)∗=A∗±B∗\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}(A±B)∗=A∗±B∗不一定成立。 (4) (A−1)T=(AT)−1, (A−1)∗=(AA∗)−1,(A∗)T=(AT)∗{(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}(A−1)T=(AT)−1, (A−1)∗=(AA∗)−1,(A∗)T=(AT)∗ 5.有关A∗\mathbf{A}^{\mathbf{*}}A∗的结论 (1) AA∗=A∗A=∣A∣EAA^{*} = A^{*}A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E (2) ∣A∗∣=∣A∣n−1 (n≥2), (kA)∗=kn−1A∗, (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥3)|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{ {\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)∣A∗∣=∣A∣n−1 (n≥2), (kA)∗=kn−1A∗, (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥3) (3) 若AAA可逆，则A∗=∣A∣A−1,(A∗)∗=1∣A∣AA^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}AA∗=∣A∣A−1,(A∗)∗=∣A∣1A (4) 若AAA为nnn阶方阵，则： r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A) 6.有关A−1\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}A−1的结论 AAA可逆⇔AB=E;⇔∣A∣≠0;⇔r(A)=n;\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;⇔AB=E;⇔∣A∣=0;⇔r(A)=n; ⇔A\Leftrightarrow A⇔A可以表示为初等矩阵的乘积；⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax = 0⇔Ax=0只有零解。 7.有关矩阵秩的结论 (1) 秩r(A)r(A)r(A)=行秩=列秩； (2) r(Am×n)≤min(m,n);r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);r(Am×n)≤min(m,n); (3) A≠0⇒r(A)≥1A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1A=0⇒r(A)≥1； (4) r(A±B)≤r(A)+r(B);r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);r(A±B)≤r(A)+r(B); (5) 初等变换不改变矩阵的秩 (6) r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min(r(A),r(B)),r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min(r(A),r(B)),特别若AB=OAB = OAB=O 则：r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq nr(A)+r(B)≤n (7) 若A−1A^{- 1}A−1存在⇒r(AB)=r(B);\Rightarrow r(AB) = r(B);⇒r(AB)=r(B); 若B−1B^{- 1}B−1存在 ⇒r(AB)=r(A);\Rightarrow r(AB) = r(A);⇒r(AB)=r(A); 若r(Am×n)=n⇒r(AB)=r(B);r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);r(Am×n)=n⇒r(AB)=r(B); 若r(Am×s)=n⇒r(AB)=r(A)r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)r(Am×s)=n⇒r(AB)=r(A)。 (8) r(Am×s)=n⇔Ax=0r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0r(Am×s)=n⇔Ax=0只有零解 8.分块求逆公式 (AOOB)−1=(A−1OOB−1)\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}(AOOB)−1=(A−1OOB−1)； (ACOB)−1=(A−1−A−1CB−1OB−1)\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}(AOCB)−1=(A−1O−A−1CB−1B−1)； (AOCB)−1=(A−1O−B−1CA−1B−1)\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}(ACOB)−1=(A−1−B−1CA−1OB−1)； (OABO)−1=(OB−1A−1O)\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}(OBAO)−1=(OA−1B−1O) 这里AAA，BBB均为可逆方阵。 向量 1.有关向量组的线性表示 (1)α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性相关⇔\Leftrightarrow⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 (2)α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs，β\betaβ线性相关⇔β\Leftrightarrow \beta⇔β可以由α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。 (3) β\betaβ可以由α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性表示 ⇔r(α1,α2,⋯ ,αs)=r(α1,α2,⋯ ,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β) 。 2.有关向量组的线性相关性 (1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关. (2) ① nnn个nnn维向量 α1,α2⋯αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}α1,α2⋯αn线性无关⇔∣[α1α2⋯αn]∣≠0\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0⇔∣[α1α2⋯αn]∣=0， nnn个nnn维向量α1,α2⋯αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}α1,α2⋯αn线性相关 ⇔∣[α1,α2,⋯ ,αn]∣=0\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0⇔∣[α1,α2,⋯,αn]∣=0 。 ② n+1n + 1n+1个nnn维向量线性相关。 ③ 若α1,α2⋯αS\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}α1,α2⋯αS线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。 3.有关向量组的线性表示 (1) α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性相关⇔\Leftrightarrow⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 (2) α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs，β\betaβ线性相关⇔β\Leftrightarrow\beta⇔β 可以由α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。 (3) β\betaβ可以由α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性表示 ⇔r(α1,α2,⋯ ,αs)=r(α1,α2,⋯ ,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β) 4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 设r(Am×n)=rr(A_{m \times n}) =rr(Am×n)=r，则AAA的秩r(A)r(A)r(A)与AAA的行列向量组的线性相关性关系为： (1) 若r(Am×n)=r=mr(A_{m \times n}) = r = mr(Am×n)=r=m，则AAA的行向量组线性无关。 (2) 若r(Am×n)=r (3) 若r(Am×n)=r=nr(A_{m \times n}) = r = nr(Am×n)=r=n，则AAA的列向量组线性无关。 (4) 若r(Am×n)=r 5.n\mathbf{n}n维向量空间的基变换公式及过渡矩阵 若α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn与β1,β2,⋯ ,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn是向量空间VVV的两组基，则基变换公式为： (β1,β2,⋯ ,βn)=(α1,α2,⋯ ,αn)[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn]=(α1,α2,⋯ ,αn)C(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{ {nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C(β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋯cn1c12c22⋯cn2⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋯cnn⎦⎥⎥⎥⎤=(α1,α2,⋯,αn)C 其中CCC是可逆矩阵，称为由基α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn到基β1,β2,⋯ ,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。 6.坐标变换公式 若向量γ\gammaγ在基α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn与基β1,β2,⋯ ,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的坐标分别是 X=(x1,x2,⋯ ,xn)TX = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}X=(x1,x2,⋯,xn)T， Y=(y1,y2,⋯ ,yn)TY = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}Y=(y1,y2,⋯,yn)T 即： γ=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=y1β1+y2β2+⋯+ynβn\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}γ=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=y1β1+y2β2+⋯+ynβn，则向量坐标变换公式为X=CYX = CYX=CY 或Y=C−1XY = C^{- 1}XY=C−1X，其中CCC是从基α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn到基β1,β2,⋯ ,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。 7.向量的内积 (α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ=βTα(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ=βTα 8.Schmidt正交化 若α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs线性无关，则可构造β1,β2,⋯ ,βs\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}β1,β2,⋯,βs使其两两正交，且βi\beta_{i}βi仅是α1,α2,⋯ ,αi\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}α1,α2,⋯,αi的线性组合(i=1,2,⋯ ,n)(i= 1,2,\cdots,n)(i=1,2,⋯,n)，再把βi\beta_{i}βi单位化，记γi=βi∣βi∣\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}γi=∣βi∣βi，则γ1,γ2,⋯ ,γi\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}γ1,γ2,⋯,γi是规范正交向量组。其中 β1=α1\beta_{1} = \alpha_{1}β1=α1， β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1 ， β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2 ， … βs=αs−(αs,β1)(β1,β1)β1−(αs,β2)(β2,β2)β2−⋯−(αs,βs−1)(βs−1,βs−1)βs−1\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}βs=αs−(β1,β1)(αs,β1)β1−(β2,β2)(αs,β2)β2−⋯−(βs−1,βs−1)(αs,βs−1)βs−1 9.正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。 线性方程组 1．克莱姆法则 线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{ {nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn，如果系数行列式D=∣A∣≠0D = \left| A \right| \neq 0D=∣A∣=0，则方程组有唯一解，x1=D1D,x2=D2D,⋯ ,xn=DnDx_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn，其中DjD_{j}Dj是把DDD中第jjj列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。 2. nnn阶矩阵AAA可逆⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax = 0⇔Ax=0只有零解。⇔∀b,Ax=b\Leftrightarrow\forall b,Ax = b⇔∀b,Ax=b总有唯一解，一般地，r(Am×n)=n⇔Ax=0r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0r(Am×n)=n⇔Ax=0只有零解。 3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构 (1) 设AAA为m×nm \times nm×n矩阵，若r(Am×n)=mr(A_{m \times n}) = mr(Am×n)=m，则对Ax=bAx =bAx=b而言必有r(A)=r(Ab)=mr(A) = r(A \vdots b) = mr(A)=r(A⋮b)=m，从而Ax=bAx = bAx=b有解。 (2) 设x1,x2,⋯xsx_{1},x_{2},\cdots x_{s}x1,x2,⋯xs为Ax=bAx = bAx=b的解，则k1x1+k2x2⋯+ksxsk_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}k1x1+k2x2⋯+ksxs当k1+k2+⋯+ks=1k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1k1+k2+⋯+ks=1时仍为Ax=bAx =bAx=b的解；但当k1+k2+⋯+ks=0k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0k1+k2+⋯+ks=0时，则为Ax=0Ax =0Ax=0的解。特别x1+x22\frac{x_{1} + x_{2}}{2}2x1+x2为Ax=bAx = bAx=b的解；2x3−(x1+x2)2x_{3} - (x_{1} +x_{2})2x3−(x1+x2)为Ax=0Ax = 0Ax=0的解。 (3) 非齐次线性方程组Ax=b{Ax} = bAx=b无解⇔r(A)+1=r(A‾)⇔b\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b⇔r(A)+1=r(A)⇔b不能由AAA的列向量α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}α1,α2,⋯,αn线性表示。 4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解 (1) 齐次方程组Ax=0{Ax} = 0Ax=0恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此Ax=0{Ax}= 0Ax=0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是n−r(A)n - r(A)n−r(A)，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。 (2) η1,η2,⋯ ,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt是Ax=0{Ax} = 0Ax=0的基础解系，即： η1,η2,⋯ ,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt是Ax=0{Ax} = 0Ax=0的解； η1,η2,⋯ ,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt线性无关； Ax=0{Ax} = 0Ax=0的任一解都可以由η1,η2,⋯ ,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}η1,η2,⋯,ηt线性表出. k1η1+k2η2+⋯+ktηtk_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}k1η1+k2η2+⋯+ktηt是Ax=0{Ax} = 0Ax=0的通解，其中k1,k2,⋯ ,ktk_{1},k_{2},\cdots,k_{t}k1,k2,⋯,kt是任意常数。 矩阵的特征值和特征向量 1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 (1) 设λ\lambdaλ是AAA的一个特征值，则 kA,aA+bE,A2,Am,f(A),AT,A−1,A∗{kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}kA,aA+bE,A2,Am,f(A),AT,A−1,A∗有一个特征值分别为 kλ,aλ+b,λ2,λm,f(λ),λ,λ−1,∣A∣λ,{kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},kλ,aλ+b,λ2,λm,f(λ),λ,λ−1,λ∣A∣,且对应特征向量相同（ATA^{T}AT 例外）。 (2)若λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}λ1,λ2,⋯,λn为AAA的nnn个特征值，则∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{ {ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣ ,从而∣A∣≠0⇔A|A| \neq 0 \Leftrightarrow A∣A∣=0⇔A没有特征值。 (3)设λ1,λ2,⋯ ,λs\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}λ1,λ2,⋯,λs为AAA的sss个特征值，对应特征向量为α1,α2,⋯ ,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}α1,α2,⋯,αs， 若: α=k1α1+k2α2+⋯+ksαs\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}α=k1α1+k2α2+⋯+ksαs , 则: Anα=k1Anα1+k2Anα2+⋯+ksAnαs=k1λ1nα1+k2λ2nα2+⋯ksλsnαsA^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}Anα=k1Anα1+k2Anα2+⋯+ksAnαs=k1λ1nα1+k2λ2nα2+⋯ksλsnαs 。 2.相似变换、相似矩阵的概念及性质 (1) 若A∼BA \sim BA∼B，则 AT∼BT,A−1∼B−1,,A∗∼B∗A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}AT∼BT,A−1∼B−1,,A∗∼B∗ ∣A∣=∣B∣,∑i=1nAii=∑i=1nbii,r(A)=r(B)|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{ {ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{ {ii}},r(A) = r(B)∣A∣=∣B∣,∑i=1nAii=∑i=1nbii,r(A)=r(B) ∣λE−A∣=∣λE−B∣|\lambda E - A| = |\lambda E - B|∣λE−A∣=∣λE−B∣，对∀λ\forall\lambda∀λ成立 3.矩阵可相似对角化的充分必要条件 (1)设AAA为nnn阶方阵，则AAA可对角化⇔\Leftrightarrow⇔对每个kik_{i}ki重根特征值λi\lambda_{i}λi，有n−r(λiE−A)=kin-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}n−r(λiE−A)=ki (2) 设AAA可对角化，则由P−1AP=Λ,P^{- 1}{AP} = \Lambda,P−1AP=Λ,有A=PΛP−1A = {PΛ}P^{-1}A=PΛP−1，从而An=PΛnP−1A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}An=PΛnP−1 (3) 重要结论 若A∼B,C∼DA \sim B,C \sim DA∼B,C∼D，则[AOOC]∼[BOOD]\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}[AOOC]∼[BOOD]. 若A∼BA \sim BA∼B，则f(A)∼f(B),∣f(A)∣∼∣f(B)∣f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|f(A)∼f(B),∣f(A)∣∼∣f(B)∣，其中f(A)f(A)f(A)为关于nnn阶方阵AAA的多项式。 若AAA为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(AAA) 4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵 (1)相似矩阵：设A,BA,BA,B为两个nnn阶方阵，如果存在一个可逆矩阵PPP，使得B=P−1APB =P^{- 1}{AP}B=P−1AP成立，则称矩阵AAA与BBB相似，记为A∼BA \sim BA∼B。 (2)相似矩阵的性质：如果A∼BA \sim BA∼B则有： AT∼BTA^{T} \sim B^{T}AT∼BT A−1∼B−1A^{- 1} \sim B^{- 1}A−1∼B−1 （若AAA，BBB均可逆） Ak∼BkA^{k} \sim B^{k}Ak∼Bk （kkk为正整数） ∣λE−A∣=∣λE−B∣\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|∣λE−A∣=∣λE−B∣，从而A,BA,BA,B 有相同的特征值 ∣A∣=∣B∣\left| A \right| = \left| B \right|∣A∣=∣B∣，从而A,BA,BA,B同时可逆或者不可逆 秩(A)=\left( A \right) =(A)=秩(B),∣λE−A∣=∣λE−B∣\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|(B),∣λE−A∣=∣λE−B∣，A,BA,BA,B不一定相似 二次型 1.n\mathbf{n}n个变量x1,x2,⋯ ,xn\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}x1,x2,⋯,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,⋯ ,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyjf(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{ {ij}}x_{i}y_{j}}}f(x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyj，其中aij=aji(i,j=1,2,⋯ ,n)a_{ {ij}} = a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，称为nnn元二次型，简称二次型. 若令x= [x1x1xn],A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann]x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{ {nn}} \\\end{bmatrix}x= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x1⋮xn⎦⎥⎥⎥⎥⎤,A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann⎦⎥⎥⎥⎤,这二次型fff可改写成矩阵向量形式f=xTAxf =x^{T}{Ax}f=xTAx。其中AAA称为二次型矩阵，因为aij=aji(i,j=1,2,⋯ ,n)a_{ {ij}} =a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵AAA的秩称为二次型的秩。 2.惯性定理，二次型的标准形和规范形 (1) 惯性定理 对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。 (2) 标准形 二次型f=(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}f=(x1,x2,⋯,xn)=xTAx经过合同变换x=Cyx = {Cy}x=Cy化为f=xTAx=yTCTACf = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}f=xTAx=yTCTAC y=∑i=1rdiyi2y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}y=∑i=1rdiyi2称为 f(r≤n)f(r \leq n)f(r≤n)的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由r(A)r(A)r(A)唯一确定。 (3) 规范形 任一实二次型fff都可经过合同变换化为规范形f=z12+z22+⋯zp2−zp+12−⋯−zr2f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}f=z12+z22+⋯zp2−zp+12−⋯−zr2，其中rrr为AAA的秩，ppp为正惯性指数，r−pr -pr−p为负惯性指数，且规范型唯一。 3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性 设AAA正定⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定；∣A∣>0|A| >0∣A∣>0,AAA可逆；aii>0a_{ {ii}} > 0aii>0，且∣Aii∣>0|A_{ {ii}}| > 0∣Aii∣>0 AAA，BBB正定⇒A+B\Rightarrow A +B⇒A+B正定，但AB{AB}AB，BA{BA}BA不一定正定 AAA正定⇔f(x)=xTAx>0,∀x≠0\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0⇔f(x)=xTAx>0,∀x=0 ⇔A\Leftrightarrow A⇔A的各阶顺序主子式全大于零 ⇔A\Leftrightarrow A⇔A的所有特征值大于零 ⇔A\Leftrightarrow A⇔A的正惯性指数为nnn ⇔\Leftrightarrow⇔存在可逆阵PPP使A=PTPA = P^{T}PA=PTP ⇔\Leftrightarrow⇔存在正交矩阵QQQ，使QTAQ=Q−1AQ=(λ1⋱λn),Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},QTAQ=Q−1AQ=⎝⎜⎜⎜⎛λ1⋱λn⎠⎟⎟⎟⎞, 其中λi>0,i=1,2,⋯ ,n.\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.λi>0,i=1,2,⋯,n.正定⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定； ∣A∣>0,A|A| > 0,A∣A∣>0,A可逆；aii>0a_{ {ii}} >0aii>0，且∣Aii∣>0|A_{ {ii}}| > 0∣Aii∣>0 。 随机事件和概率 1.事件的关系与运算 (1) 子事件：A⊂BA \subset BA⊂B，若AAA发生，则BBB发生。 (2) 相等事件：A=BA = BA=B，即A⊂BA \subset BA⊂B，且B⊂AB \subset AB⊂A 。 (3) 和事件：A⋃BA\bigcup BA⋃B（或A+BA + BA+B），AAA与BBB中至少有一个发生。 (4) 差事件：A−BA - BA−B，AAA发生但BBB不发生。 (5) 积事件：A⋂BA\bigcap BA⋂B（或AB{AB}AB），AAA与BBB同时发生。 (6) 互斥事件（互不相容）：A⋂BA\bigcap BA⋂B=∅\varnothing∅。 (7) 互逆事件（对立事件）： A⋂B=∅,A⋃B=Ω,A=Bˉ,B=AˉA\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}A⋂B=∅,A⋃B=Ω,A=Bˉ,B=Aˉ 2.运算律 (1) 交换律：A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂AA\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap AA⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A (2) 结合律：(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C)(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C) (3) 分配律：(A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C)(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)(A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C) 3.德⋅\centerdot⋅摩根律 A⋃B‾=Aˉ⋂Bˉ\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}A⋃B=Aˉ⋂Bˉ A⋂B‾=Aˉ⋃Bˉ\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}A⋂B=Aˉ⋃Bˉ 4.完全事件组 A1A2⋯An{ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n}}A1A2⋯An两两互斥，且和事件为必然事件，即{ {A}_{i}}\bigcap { {A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega 5.概率的基本公式 (1)条件概率: P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB),表示AAA发生的条件下，BBB发生的概率。 (2)全概率公式： P(A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi),BiBj=∅,i≠j, Bi=ΩP(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{ {B}_{i}})P({ {B}_{i}}),{ {B}_{i}}{ {B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{ {B}_{i}}=\OmegaP(A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi),BiBj=∅,i=j,i=1⋃nBi=Ω (3) Bayes公式： P(Bj∣A)=P(A∣Bj)P(Bj)∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi),j=1,2,⋯ ,nP({ {B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{ {B}_{j}})P({ {B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{ {B}_{i}})P({ {B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,nP(Bj∣A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bj)P(Bj),j=1,2,⋯,n 注：上述公式中事件Bi{ {B}_{i}}Bi的个数可为可列个。 (4)乘法公式： P(A1A2)=P(A1)P(A2∣A1)=P(A2)P(A1∣A2)P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}})=P({ {A}_{1}})P({ {A}_{2}}|{ {A}_{1}})=P({ {A}_{2}})P({ {A}_{1}}|{ {A}_{2}})P(A1A2)=P(A1)P(A2∣A1)=P(A2)P(A1∣A2) P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n}})=P({ {A}_{1}})P({ {A}_{2}}|{ {A}_{1}})P({ {A}_{3}}|{ {A}_{1}}{ {A}_{2}})\cdots P({ {A}_{n}}|{ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n-1}})P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1) 6.事件的独立性 (1)AAA与BBB相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B) (2)AAA，BBB，CCC两两独立 ⇔P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C) ;P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C); (3)AAA，BBB，CCC相互独立 ⇔P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B); P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C) ; P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C) ; P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 7.独立重复试验 将某试验独立重复nnn次，若每次实验中事件A发生的概率为ppp，则nnn次试验中AAA发生kkk次的概率为： P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k)=C_{n}^{k}{ {p}^{k}}{ {(1-p)}^{n-k}}P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k 8.重要公式与结论 (1)P(Aˉ)=1−P(A)(1)P(\bar{A})=1-P(A)(1)P(Aˉ)=1−P(A) (2)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)(2)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB) P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC) (3)P(A−B)=P(A)−P(AB)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)(3)P(A−B)=P(A)−P(AB) (4)P(ABˉ)=P(A)−P(AB),P(A)=P(AB)+P(ABˉ),(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),(4)P(ABˉ)=P(A)−P(AB),P(A)=P(AB)+P(ABˉ), P(A⋃B)=P(A)+P(AˉB)=P(AB)+P(ABˉ)+P(AˉB)P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)P(A⋃B)=P(A)+P(AˉB)=P(AB)+P(ABˉ)+P(AˉB) (5)条件概率P(⋅∣B)P(\centerdot |B)P(⋅∣B)满足概率的所有性质， 例如：. P(Aˉ1∣B)=1−P(A1∣B)P({ {\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({ {A}_{1}}|B)P(Aˉ1∣B)=1−P(A1∣B) P(A1⋃A2∣B)=P(A1∣B)+P(A2∣B)−P(A1A2∣B)P({ {A}_{1}}\bigcup { {A}_{2}}|B)=P({ {A}_{1}}|B)+P({ {A}_{2}}|B)-P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}|B)P(A1⋃A2∣B)=P(A1∣B)+P(A2∣B)−P(A1A2∣B) P(A1A2∣B)=P(A1∣B)P(A2∣A1B)P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}|B)=P({ {A}_{1}}|B)P({ {A}_{2}}|{ {A}_{1}}B)P(A1A2∣B)=P(A1∣B)P(A2∣A1B) (6)若A1,A2,⋯ ,An{ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{n}}A1,A2,⋯,An相互独立，则P(⋂i=1nAi)=∏i=1nP(Ai),P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{ { {A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({ {A}_{i}})},P(i=1⋂nAi)=i=1∏nP(Ai), P(⋃i=1nAi)=∏i=1n(1−P(Ai))P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{ { {A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({ {A}_{i}}))}P(i=1⋃nAi)=i=1∏n(1−P(Ai)) (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： AAA与BBB互逆⇒\Rightarrow⇒ AAA与BBB互斥，但反之不成立，AAA与BBB互斥（或互逆）且均非零概率事件⇒\Rightarrow⇒AAA与BBB不独立. (8)若A1,A2,⋯ ,Am,B1,B2,⋯ ,Bn{ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{m}},{ {B}_{1}},{ {B}_{2}},\cdots ,{ {B}_{n}}A1,A2,⋯,Am,B1,B2,⋯,Bn相互独立，则f(A1,A2,⋯ ,Am)f({ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{m}})f(A1,A2,⋯,Am)与g(B1,B2,⋯ ,Bn)g({ {B}_{1}},{ {B}_{2}},\cdots ,{ {B}_{n}})g(B1,B2,⋯,Bn)也相互独立，其中f(⋅),g(⋅)f(\centerdot ),g(\centerdot )f(⋅),g(⋅)分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立. 随机变量及其概率分布 1.随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2.分布函数的概念与性质 定义： F(x)=P(X≤x),−∞ 性质：(1)0≤F(x)≤10 \leq F(x) \leq 10≤F(x)≤1 (2) F(x)F(x)F(x)单调不减 (3) 右连续F(x+0)=F(x)F(x + 0) = F(x)F(x+0)=F(x) (4) F(−∞)=0,F(+∞)=1F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1F(−∞)=0,F(+∞)=1 3.离散型随机变量的概率分布 P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯ ,n,⋯pi≥0,∑i=1∞pi=1P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯,n,⋯pi≥0,∑i=1∞pi=1 4.连续型随机变量的概率密度 概率密度f(x)f(x)f(x);非负可积，且: (1)f(x)≥0,f(x) \geq 0,f(x)≥0, (2)∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}∫−∞+∞f(x)dx=1 (3)xxx为f(x)f(x)f(x)的连续点，则: f(x)=F′(x)f(x) = F'(x)f(x)=F′(x)分布函数F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}F(x)=∫−∞xf(t)dt 5.常见分布 (1) 0-1分布:P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1 (2) 二项分布:B(n,p)B(n,p)B(n,p)： P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯ ,nP(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,nP(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n (3) Poisson分布:p(λ)p(\lambda)p(λ)： P(X=k)=λkk!e−λ,λ>0,k=0,1,2⋯P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdotsP(X=k)=k!λke−λ,λ>0,k=0,1,2⋯ (4) 均匀分布U(a,b)U(a,b)U(a,b)：f(x)={1b−a,a (5) 正态分布:N(μ,σ2):N(\mu,\sigma^{2}):N(μ,σ2): φ(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,σ>0,∞ σ1e−2σ2(x−μ)2,σ>0,∞ (6)指数分布:E(λ):f(x)={λe−λx,x>0,λ>00,E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}E(λ):f(x)={λe−λx,x>0,λ>00, (7)几何分布:G(p):P(X=k)=(1−p)k−1p,0 (8)超几何分布: H(N,M,n):P(X=k)=CMkCN−Mn−kCNn,k=0,1,⋯ ,min(n,M)H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)H(N,M,n):P(X=k)=CNnCMkCN−Mn−k,k=0,1,⋯,min(n,M) 6.随机变量函数的概率分布 (1)离散型：P(X=x1)=pi,Y=g(X)P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)P(X=x1)=pi,Y=g(X) 则: P(Y=yj)=∑g(xi)=yiP(X=xi)P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}P(Y=yj)=∑g(xi)=yiP(X=xi) (2)连续型：X ~fX(x),Y=g(x)X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)X ~fX(x),Y=g(x) 则:Fy(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=∫g(x)≤yfx(x)dxF_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}Fy(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=∫g(x)≤yfx(x)dx， fY(y)=FY′(y)f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)fY(y)=FY′(y) 7.重要公式与结论 (1) X∼N(0,1)⇒φ(0)=12π,Φ(0)=12,X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},X∼N(0,1)⇒φ(0)=2π 1,Φ(0)=21, Φ(−a)=P(X≤−a)=1−Φ(a)\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)Φ(−a)=P(X≤−a)=1−Φ(a) (2) X∼N(μ,σ2)⇒X−μσ∼N(0,1),P(X≤a)=Φ(a−μσ)X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})X∼N(μ,σ2)⇒σX−μ∼N(0,1),P(X≤a)=Φ(σa−μ) (3) X∼E(λ)⇒P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)X∼E(λ)⇒P(X>s+t∣X>s)=P(X>t) (4) X∼G(p)⇒P(X=m+k∣X>m)=P(X=k)X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)X∼G(p)⇒P(X=m+k∣X>m)=P(X=k) (5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 (6) 存在既非离散也非连续型随机变量。 多维随机变量及其分布 1.二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)， 联合分布为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 2.二维离散型随机变量的分布 (1) 联合概率分布律 P{X=xi,Y=yj}=pij;i,j=1,2,⋯P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{ {ij}};i,j =1,2,\cdotsP{X=xi,Y=yj}=pij;i,j=1,2,⋯ (2) 边缘分布律 pi⋅=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{ {ij}},i =1,2,\cdotspi⋅=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯ p⋅j=∑i∞pij,j=1,2,⋯p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{ {ij}},j = 1,2,\cdotsp⋅j=∑i∞pij,j=1,2,⋯ (3) 条件分布律 P{X=xi∣Y=yj}=pijp⋅jP\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{ {ij}}}{p_{\cdot j}}P{X=xi∣Y=yj}=p⋅jpij P{Y=yj∣X=xi}=pijpi⋅P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{ {ij}}}{p_{i \cdot}}P{Y=yj∣X=xi}=pi⋅pij 3. 二维连续性随机变量的密度 (1) 联合概率密度f(x,y):f(x,y):f(x,y): f(x,y)≥0f(x,y) \geq 0f(x,y)≥0 ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1 (2) 分布函数：F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvF(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv (3) 边缘概率密度： fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyf_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dxf_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx (4) 条件概率密度：fX∣Y(x|y)=f(x,y)fY(y)f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y) fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y) 4.常见二维随机变量的联合分布 (1) 二维均匀分布：(x,y)∼U(D)(x,y) \sim U(D)(x,y)∼U(D) ,f(x,y)={1S(D),(x,y)∈D0,其他f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}f(x,y)={S(D)1,(x,y)∈D0,其他 (2) 二维正态分布：(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ) f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2.exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]}f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{ {(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{ {(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}f(x,y)=2πσ1σ21−ρ2 1.exp{2(1−ρ2)−1[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2]} 5.随机变量的独立性和相关性 XXX和YYY的相互独立:⇔F(x,y)=FX(x)FY(y)\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)⇔F(x,y)=FX(x)FY(y): ⇔pij=pi⋅⋅p⋅j\Leftrightarrow p_{ {ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}⇔pij=pi⋅⋅p⋅j（离散型） ⇔f(x,y)=fX(x)fY(y)\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)⇔f(x,y)=fX(x)fY(y)（连续型） XXX和YYY的相关性： 相关系数ρXY=0\rho_{ {XY}} = 0ρXY=0时，称XXX和YYY不相关， 否则称XXX和YYY相关 6.两个随机变量简单函数的概率分布 离散型： P(X=xi,Y=yi)=pij,Z=g(X,Y)P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{ {ij}},Z = g\left( X,Y \right)P(X=xi,Y=yi)=pij,Z=g(X,Y) 则： P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yi)=zkP(X=xi,Y=yj)P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yi)=zkP(X=xi,Y=yj) 连续型： (X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y)\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)(X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y) 则： Fz(z)=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdyF_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}Fz(z)=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy，fz(z)=Fz′(z)f_{z}(z) = F'_{z}(z)fz(z)=Fz′(z) 7.重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy,f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy, fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dxf_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx (2) P{(X,Y)∈D}=∬Df(x,y)dxdyP\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}P{(X,Y)∈D}=∬Df(x,y)dxdy (3) 若(X,Y)(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ) 则有： X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22).X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22). XXX与YYY相互独立⇔ρ=0\Leftrightarrow \rho = 0⇔ρ=0，即XXX与YYY不相关。 C1X+C2Y∼N(C1μ1+C2μ2,C12σ12+C22σ22+2C1C2σ1σ2ρ)C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)C1X+C2Y∼N(C1μ1+C2μ2,C12σ12+C22σ22+2C1C2σ1σ2ρ) X{\ X} X关于Y=yY=yY=y的条件分布为： N(μ1+ρσ1σ2(y−μ2),σ12(1−ρ2))N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))N(μ1+ρσ2σ1(y−μ2),σ12(1−ρ2)) YYY关于X=xX = xX=x的条件分布为： N(μ2+ρσ2σ1(x−μ1),σ22(1−ρ2))N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))N(μ2+ρσ1σ2(x−μ1),σ22(1−ρ2)) (4) 若XXX与YYY独立，且分别服从N(μ1,σ12),N(μ1,σ22),N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),N(μ1,σ12),N(μ1,σ22), 则：(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,0),\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,0), C1X+C2Y ~N(C1μ1+C2μ2,C12σ12C22σ22).C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).C1X+C2Y ~N(C1μ1+C2μ2,C12σ12C22σ22). (5) 若XXX与YYY相互独立，f(x)f\left( x \right)f(x)和g(x)g\left( x \right)g(x)为连续函数， 则f(X)f\left( X \right)f(X)和g(Y)g(Y)g(Y)也相互独立。 随机变量的数字特征 1.数学期望 离散型：P{X=xi}=pi,E(X)=∑ixipiP\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}P{X=xi}=pi,E(X)=∑ixipi； 连续型： X∼f(x),E(X)=∫−∞+∞xf(x)dxX\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}X∼f(x),E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx 性质： (1) E(C)=C,E[E(X)]=E(X)E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)E(C)=C,E[E(X)]=E(X) (2) E(C1X+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y)E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)E(C1X+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y) (3) 若XXX和YYY独立，则E(XY)=E(X)E(Y)E(XY) = E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2)\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2) 2.方差：D(X)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}D(X)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2 3.标准差：D(X)\sqrt{D(X)}D(X) ， 4.离散型：D(X)=∑i[xi−E(X)]2piD(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}D(X)=∑i[xi−E(X)]2pi 5.连续型：D(X)=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dxD(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dxD(X)=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx 性质： (1) D(C)=0,D[E(X)]=0,D[D(X)]=0\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0 D(C)=0,D[E(X)]=0,D[D(X)]=0 (2) XXX与YYY相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)D(X±Y)=D(X)+D(Y) (3) D(C1X+C2)=C12D(X)\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right) D(C1X+C2)=C12D(X) (4) 一般有 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)±2ρD(X)D(Y)D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)±2ρD(X) D(Y) (5) D(X) (6) D(X)=0⇔P{X=C}=1\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1 D(X)=0⇔P{X=C}=1 6.随机变量函数的数学期望 (1) 对于函数Y=g(x)Y = g(x)Y=g(x) XXX为离散型：P{X=xi}=pi,E(Y)=∑ig(xi)piP\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}P{X=xi}=pi,E(Y)=∑ig(xi)pi； XXX为连续型：X∼f(x),E(Y)=∫−∞+∞g(x)f(x)dxX\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}X∼f(x),E(Y)=∫−∞+∞g(x)f(x)dx (2) Z=g(X,Y)Z = g(X,Y)Z=g(X,Y);(X,Y)∼P{X=xi,Y=yj}=pij\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{ {ij}}(X,Y)∼P{X=xi,Y=yj}=pij; E(Z)=∑i∑jg(xi,yj)pijE(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{ {ij}}}}E(Z)=∑i∑jg(xi,yj)pij (X,Y)∼f(x,y)\left( X,Y \right)\sim f(x,y)(X,Y)∼f(x,y);E(Z)=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdyE(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}E(Z)=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 7.协方差 Cov(X,Y)=E[(X−E(X)(Y−E(Y))]Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrackCov(X,Y)=E[(X−E(X)(Y−E(Y))] 8.相关系数 ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{ {XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}ρXY=D(X) D(Y) Cov(X,Y),kkk阶原点矩 E(Xk)E(X^{k})E(Xk); kkk阶中心矩 E{[X−E(X)]k}E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}E{[X−E(X)]k} 性质： (1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (2) Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X) Cov(aX,bY)=abCov(Y,X) (3) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) (4) ∣ρ(X,Y)∣≤1\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1 ∣ρ(X,Y)∣≤1 (5) ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX+b)=1\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1 ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX+b)=1 ，其中a>0a > 0a>0 ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX+b)=1\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX+b)=1 ，其中a<0a < 0a<0 9.重要公式与结论 (1) D(X)=E(X2)−E2(X)\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X) D(X)=E(X2)−E2(X) (2) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) (3) ∣ρ(X,Y)∣≤1,\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,∣ρ(X,Y)∣≤1,且 ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX+b)=1\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX+b)=1，其中a>0a > 0a>0 ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX+b)=1\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX+b)=1，其中a<0a < 0a<0 (4) 下面5个条件互为充要条件： ρ(X,Y)=0\rho(X,Y) = 0ρ(X,Y)=0 ⇔Cov(X,Y)=0\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0⇔Cov(X,Y)=0 ⇔E(X,Y)=E(X)E(Y)\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)⇔E(X,Y)=E(X)E(Y) ⇔D(X+Y)=D(X)+D(Y)\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)⇔D(X+Y)=D(X)+D(Y) ⇔D(X−Y)=D(X)+D(Y)\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)⇔D(X−Y)=D(X)+D(Y) 注：XXX与YYY独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。 数理统计的基本概念 1.基本概念 总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用XXX表示。 个体：组成总体的每个基本元素。 简单随机样本：来自总体XXX的nnn个相互独立且与总体同分布的随机变量X1,X2⋯ ,XnX_{1},X_{2}\cdots,X_{n}X1,X2⋯,Xn，称为容量为nnn的简单随机样本，简称样本。 统计量：设X1,X2⋯ ,Xn,X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},X1,X2⋯,Xn,是来自总体XXX的一个样本，g(X1,X2⋯ ,Xn)g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})g(X1,X2⋯,Xn)）是样本的连续函数，且g()g()g()中不含任何未知参数，则称g(X1,X2⋯ ,Xn)g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})g(X1,X2⋯,Xn)为统计量。 样本均值：X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}X=n1∑i=1nXi 样本方差：S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2 样本矩：样本kkk阶原点矩：Ak=1n∑i=1nXik,k=1,2,⋯A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdotsAk=n1∑i=1nXik,k=1,2,⋯ 样本kkk阶中心矩：Bk=1n∑i=1n(Xi−X‾)k,k=1,2,⋯B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdotsBk=n1∑i=1n(Xi−X)k,k=1,2,⋯ 2.分布 χ2\chi^{2}χ2分布：χ2=X12+X22+⋯+Xn2∼χ2(n)\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)χ2=X12+X22+⋯+Xn2∼χ2(n)，其中X1,X2⋯ ,Xn,X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},X1,X2⋯,Xn,相互独立，且同服从N(0,1)N(0,1)N(0,1) ttt分布：T=XY/n∼t(n)T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)T=Y/n X∼t(n) ，其中X∼N(0,1),Y∼χ2(n),X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且XXX，YYY 相互独立。 FFF分布：F=X/n1Y/n2∼F(n1,n2)F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})F=Y/n2X/n1∼F(n1,n2)，其中X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2),X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2),且XXX，YYY相互独立。 分位数：若P(X≤xα)=α,P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,P(X≤xα)=α,则称xαx_{\alpha}xα为XXX的α\alphaα分位数 3.正态总体的常用样本分布 (1) 设X1,X2⋯ ,XnX_{1},X_{2}\cdots,X_{n}X1,X2⋯,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^{2})N(μ,σ2)的样本， X‾=1n∑i=1nXi,S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2,\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \overline{X})}^{2},}X=n1∑i=1nXi,S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2,则： X‾∼N(μ,σ2n) \overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }X∼N(μ,nσ2) 或者X‾−μσn∼N(0,1)\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)n σX−μ∼N(0,1) (n−1)S2σ2=1σ2∑i=1n(Xi−X‾)2∼χ2(n−1)\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}σ2(n−1)S2=σ21∑i=1n(Xi−X)2∼χ2(n−1) 1σ2∑i=1n(Xi−μ)2∼χ2(n)\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}σ21∑i=1n(Xi−μ)2∼χ2(n) 4) X‾−μS/n∼t(n−1){\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1) S/n X−μ∼t(n−1) 4.重要公式与结论 (1) 对于χ2∼χ2(n)\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)χ2∼χ2(n)，有E(χ2(n))=n,D(χ2(n))=2n;E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;E(χ2(n))=n,D(χ2(n))=2n; (2) 对于T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n)，有E(T)=0,D(T)=nn−2(n>2)E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)E(T)=0,D(T)=n−2n(n>2)； (3) 对于F ~F(m,n)F\tilde{\ }F(m,n)F ~F(m,n)，有 1F∼F(n,m),Fa/2(m,n)=1F1−a/2(n,m);\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};F1∼F(n,m),Fa/2(m,n)=F1−a/2(n,m)1; (4) 对于任意总体XXX，有 E(X‾)=E(X),E(S2)=D(X),D(X‾)=D(X)nE(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}E(X)=E(X),E(S2)=D(X),D(X)=nD(X)
概率论和数理统计