微积分学习笔记-不定积分、微分方程和建模

给出函数f的所有的反导数的公式是不定积分。根据中值定理，我们只要找到一个反导数，就可以找到所有反导数。

求反导数：不定积分

定义 一个函数的反函数

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一个函数F(x) 是另一个函数f(x)的反导数，如果

f的全体反导数组成的集合叫做不定积分，记作

其中称为积分号，函数f为积分的被积函数, x为积分变量。

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我们有一个f的反导数F, 其他原函数和这个反导数只差一个常数。我们用以下公式表明这种关系

例1 计算

积分公式

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例2 求积分

建模步骤

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步骤1. 观察现实世界行为
步骤2. 为确定变量及其关系做假设，建立模型
步骤3. 求解模型得到数学解
步骤4. 解释模型并将其与现实世界的观察对比

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例3 一个包裹从气球上掉落，气球当时离地80英尺，正以12英尺每秒速度上升。多长时间该包裹掉落地面?

设时刻t的时候包裹速度为v(t), 离地高度为s(t). 重力加速度为32英尺/秒. 有



由于, C = 12.
则



由于s(0) = 80, 有
C = 80.
则距离函数为

当包裹到达地面时，

则
由于负根无意义，则