微积分学习笔记-不定积分、微分方程和建模

给出函数f的所有的反导数的公式是不定积分。根据中值定理,我们只要找到一个反导数,就可以找到所有反导数。

求反导数:不定积分

定义 一个函数的反函数


一个函数F(x) 是另一个函数f(x)的反导数,如果

f的全体反导数组成的集合叫做不定积分,记作

其中称为积分号,函数f为积分的被积函数, x为积分变量


我们有一个f的反导数F, 其他原函数和这个反导数只差一个常数。我们用以下公式表明这种关系

例1 计算

积分公式



例2 求积分




建模步骤


步骤1. 观察现实世界行为
步骤2. 为确定变量及其关系做假设,建立模型
步骤3. 求解模型得到数学解
步骤4. 解释模型并将其与现实世界的观察对比


例3 一个包裹从气球上掉落,气球当时离地80英尺,正以12英尺每秒速度上升。多长时间该包裹掉落地面?

设时刻t的时候包裹速度为v(t), 离地高度为s(t). 重力加速度为32英尺/秒. 有



由于, C = 12.




由于s(0) = 80, 有
C = 80.
则距离函数为

当包裹到达地面时,


由于负根无意义,则

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