极限法的思考

1. 极限的起源

古代人们在解决圆的面积或圆周率计算问题时，通常取圆的内接正多边形的面积来近似表示圆的面积，进而计算圆周率等。而且他们发现，内接正多边形的边数越大，多边形越接近圆形，计算圆面积和圆周率也就越准确。中国古代刘徽的割圆术和古希腊人的穷竭法，都是这种思想的实现。前者的基本思想是“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。“体现了极限的思想；而后者出于对”极限的恐惧“，没有使用极限的概念，而在有限的基础上利用繁琐的归谬法完成了严谨的证明。结合”芝诺悖论“，可以大概理解古希腊人对”极限的恐惧“和对”无穷小的回避“。

2. 极限概念存在的意义

为什么在人类的长期实践中会产生极限思想，极限存在的原因是什么？极限思想的形成表明自然科学原理存在的必然性，同时也是人类历史活动的产物。从方法论的角度讲，是微积分（高等数学）用于解决实际问题的一种研究手段。

牛顿和莱布尼茨的微积分理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的，因此受到一些人对微积分理论的反对和抨击，其中，尤以爱尔兰主教贝克莱的抨击最为有力，也由此引发第二次数学危机。贝克莱针对微积分提出的质疑，在历史上称为”贝克莱悖论“，可表述为”无穷小量究竟是否为0“的问题。贝克莱悖论的出现，击中了微积分的要害，使数学家们陷入尴尬境地：无穷小分析的确存在逻辑矛盾，但微积分却在实际应用中效果显著。数学是门严谨缜密的学科，任何存在矛盾的理论都无法赢得真正的公信力，因此18、19世纪，很多数学家都试图解决这场危机，企图建立微积分理论的严密性。18世纪下半叶，达朗贝尔等人认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义（用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导，这就是所谓极限概念的“算术化”），之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。至此，严格的极限理论建立起来，第二次数学危机解决。那么，无穷小量究竟是否为0？从极限的观点看，"无穷小量"就是极限为零的变量。从上面对微积分理论建立过程的简述中，我们可以看出，无穷小分析是微积分的核心，极限理论保证了无穷小分析的严密性。这种严密性主要体现在用数学符号和不等式阐明”无限趋近“、”要多小有多小“等的直观或几何描述。（题外话，高等数学又叫数学分析，而数学分析实则为无穷小分析。）

3. 极限概念中的哲学思想

极限概念中的哲学思想，主要体现在以下几对矛盾的对立和统一关系上：有限与无限，变与不变，量变与质变，近似与准确等。上面提到的无穷小量，在没有建立严格的极限理论之前，其究竟有多小，数学家们无法给出确切的答案，只能模糊地说，”要多小有多小“，但在极限理论下，可以确切地知道其为0。从这个例子中细细品味，便能窥探出上面提到的几对矛盾的关系和相互转化了。

参考资料：

【1】百度百科:数学三大危机,极限理论,贝克莱悖论,第二次数学危机,微积分,割圆术,穷竭法

【2】刘云章. 极限法的哲学思考

【3】刘里鹏. 好的数学:微积分的故事