碎片 | 数学漫步：理解线性代数本质

今天是数学鬼才眼镜娜。o(〃'▽'〃)o（嘿嘿嘿）

大学的时候，我对那些可以定量计算的学科，比如高数，最感兴趣。奇怪的是同样都是数学，我却非常讨厌线性代数这门课，它和高数、数理统计这些直观的内容相比简直是异类，几节课下来我只机械地记得一些矩阵运算方法，考试主要依靠缥缈的记忆和强行作答。对于我们为什么要学习行列式，矩阵点乘为什么和投影有关系，为什么需要求一个矩阵的逆矩阵没有丝毫想法……好在那门考试早就过去了，我也侥幸地获得了一个还能看的分数，至少当时觉得可以对线性代数say goodbye了。

没想到后来学力学的时候几次三番还是会和矩阵运算打交道，每次我都耍小聪明，采取了投机取巧的方法解决问题。直到最近学数据分析，做主成分分析的时候，始终想不明白为什么通过协方差矩阵可以达到降维的目的。看来，线性代数确实是娜姐必须自己硬着头皮解决的问题了，不然它就要一次一次继续来找上我。

查了各种资料，也看了很多教学视频，现在终于解决了主成分分析时遇到的困惑，也终于敢说自己算是对线性代数有了比较形象的认识了。为了让更多的人直观地了解线性代数和理解矩阵这样一个强大的工具，今天想和大家分享我看过最好的：《线性代数的本质》系列视频课程。这是一系列合集，作者是可汗学院一位教师，单个视频只有15分钟左右，配合了非常直观的演示，浅显易懂地解释了我们之前觉得抽象无比的概念。

附上内容目录：
第零讲：序言
第一讲：向量究竟是什么
第二讲：线性组合、张成的空间与基
第三讲：矩阵与线性变换
第四讲：矩阵乘法与线性变换的复合
第四讲附注：三维空间中的线性变换
第五讲：行列式的意义
第六讲：逆矩阵、列空间与零空间
第六讲附注：非方阵
第七讲：点积与对偶性
第八讲上：叉积的标准介绍
第八讲下：以线性变换的眼光看叉积
第九讲：基变换
第十讲：特征向量与特征值
第十一讲：抽象向量空间

每次开讲之前的引用也很有意思：

卡尔文：你知道吗，我觉得数学不是一门科学，而是一种宗教。
霍布斯：一种宗教？
卡尔文：是啊。这些公式就像奇迹一般。你取出两个数，把它们相加时，它们神奇地成为了一个 全新的数！没人能说清这到底是怎么发生的。你要么完全相信，要么完全不信。（《卡尔文与霍布斯》连载四格漫画，1991/03/06）

从他（格罗滕迪克）和他的作为中，我还学到了一点：不以高难度的证明为傲，因为难度高意味着我们还不理解。理想的情况是能够绘出一幅美景，而其中的证明显而易见。

尽管一批教授和教科书编者用关于矩阵的荒唐至极的计算内容掩盖了线性代数的简明性，但是鲜有与之相比更为初等的理论。 （让.迪厄多内）

数学是一门赋予不同事物相同名称的艺术。（昂利·庞加莱）

上一次演讲中我问道：“数学对于你来说意味着什么？”有的人回答：“处理数字，处理结构”，“那么如果我问你音乐对于你来说意味着什么，你会回答处理音符吗？”（塞尔日·兰）

这些公理，同其他动机不明的定义一起，让门外汉难以掌握数学。它们主要通过这样的方式协助数学家，从而提升数学的权威性。（弗拉基米尔·阿诺尔德）

数学是美的，这一点我深信不疑。尽管数学的高度抽象常常将我们拒之千里之外，不过一旦触碰到它的本质，你将能领略它的无尽自由。