2021-04-11 子集构造法有效性证明

本文主要介绍一下编译原理中的子集构造法的数学依据。
龙书中并没有给出证明，我们在这里补上。
网上虽然有一些证明，但大多数不是很细，这里给出一个详细的证明

NFA的形式化定义如下：
为一个5元组
其中是所有状态的集合，是符号集合，
是一个映射: (其中表示的所有子集的集合,对于该映射的像为空集的情形，把对应原像从定义域中排除，从而使得该映射的定义域为的子集，这一点后文中保持一致并且不再说明)
为初始状态集合
是终止状态集合

DFA为NFA的特例，满足以下两个额外条件:
1,只包含一个元素
2, 的任意象 都最多只包含一个元素

以上形式化定义十分抽象，但其实NFA只不过表达了一个无重边的有向图,对应图的节点，对应图的边上的符号，若 则表示，到中每个元素都有一条有向边，且这些边上的符号为, 和仅仅是的特殊子集

子集构造法主要是把一个转化为一个，为了给出其形式化描述，我们先给出以下定义:
1，给定
给定任意子集,以及任意一个符号
令

待构建的DFA记为:
则有 , ,

注意，根据的定义，其象最多只能包含一个元素，对于只包含一个元素的集合，我们这个元素替代，而对于不包含任何元素的集合，我们可以把其原像从定义域中排除；则上式可以简写为:
但是这个映射的定义域并非而是其 子集。

简单来说，的状态是 原始的状态集合，其映射把某个状态 和 某个符号映射为唯一的状态 ，但是有些映射的像为空（这些映射的原像将被我们从定义域 中排除）

有了以上铺垫，我们用伪代码的形式，形式化的描述子集构造法:

0,初始5元组中所有集合为空集,的定义域为空集
1取定并将其添加到 ,并令为未标定态
2，
K's
标定

（若(s,c)不在定义域，则continue）
(箭头这里表示添加的意思，同时令该t为未标定态)
在的定义域中添加,并令

以上算法确定了除了之外的所有元素，之后我们把中所有包含位于中元素的的对象取出组成一个集合，设为

至此我们按照算法完全构建了

下面我们来做最关键的一步，证明以下两点:
1，子集构造法生成的图 确实满足应该满足的性质
2, 该DFA和原始NFA表达相同的语言

证明：
1, 应该满足的性质为:
1-1,只包含一个元素
1-2, 的任意象 都最多只包含一个元素
根据我们的构建算法，中只包含，因此1成立，且由于是单值映射，显然2成立

2，该DFA和原始NFA表达相同的语言
2-1
首先证明原始NFA的语言包含于DFA
我们把形如:

的关系简称为“包含链”,当时，
对于NFA表达的语言中的任意一条语句，，显然必然存在满足上述条件的包含链

对于这样一条语句，我们考虑DFA构造方法,

有
会被执行一次标定，之后对于符号，将执行
以及
由 ,, 推出
并且将有: 我们设；

则会被执行一次标定，之后对于符号将执行
任意 以及
由,推出
并且将有: 令 ;

.......，最终得到:

而这等价于是说:属于 该DFA的语言。

从最初选择的语句的任意性，证明完毕

2-2 其次证明DFA的语言不会超过NFA的语言，
DFA表达的语言中任意语句: 根据DFA映射特性，存在唯一的满足以下条件：
1)

我们考虑其中任意一个片段:

根据构造算法，

将被执行一次，之后不会再被修改
这意味着中任意元素都，存在中至少一个元素使得

利用这个关系，我们不难推导出，存在元素:
满足
结合
这对应着NFA中的一条语句
证明完毕