多项式环
多项式
定义：设R是有单位元的交换环,x是一个文字,和式称为环R上的多项式,简称x的多项式,其中每个,且只有有限多个,即,使,其中x也称为不定元
称为的系数,所有的都称为多项式的系数
若,则上述定义中的多项式简写成
零多项式
若多项式f(x)的每一个系数都为0,则称为零多项式,记作
多项式相等
设,
若,有,则称f(x)与g(x)相等,记作
多项式次数
设为R上的非零多项式,,其中,非负整数n称为f(x)的次数,记作,称为首项系数
当时,对不定义次数
加法和乘法
中定义加法和乘法
设
则
其中
两个多项式相加即对应系数相加,是中一个确定的多项式
若中,中,取
若,则的表达式中,其中
故每一项中,或者,或者
故或,从而
定理：对以上定义的加法和乘法作成一个环,且若R为整环,则也是一个整环
证明：
定理：设R是一个整环,是中的非零多项式,则
注：
1.两个定理中是一个整环很重要,例如,则中,,但
是一个有零因子的环,2和3都是的零因子
2.称为R上的多项式环
本原多项式
定义：设D是一个UFD,是中一个次数的多项式,,若系数的最大公因子是D中的单位,则称f(x)是一个本原多项式
例：中,是本原多项式,不是本原多项式
易知,中的次数的不可约多项式一定是本原多项式,反之不一定成立
例：中,是本原多项式,是可约的
引理：设D是一个UFD,则中任一次数的多项式都可写成,其中,为中的本原多项式,且c和在相差一个D中的单位因子的意义下唯一确定
证明：
高斯引理
引理：设D是一个UFD,则中的两个本原多项式的乘积还是本原多项式
推广：有限多个本原多项式的乘积依然是一个本原多项式
引理：设D是一个UFD,F是D的分式域,,且,若f(x)是D[x]中的不可约多项式,则f(x)在F[x]中也是不可约的,若是中的本原多项式,且在中是不可约的,则在中也是不可约的
证明：
注：
1.若D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的不可约多项式只有两类：D中的不可约元和在F[x]中不可约的本原多项式
2.若取D为,则F为,即整数环上的本原多项式在整数环上不可约当且仅当它在有理数域上不可约
引理(推论)：设D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的一个次数的多项式f(x)能分解为两个次数较低的中的多项式的乘积当且仅当f(x)能分解为两个次数较低的中的多项式的乘积
定理：设D是一个UFD,则也是一个UFD
证明：
例：是一个UFD,故是一个UFD,同时不是一个PID
例如就不是一个主理想
唯一分解整环不一定是主理想整环