莱布尼兹的数学成与我国考研有何关联？

     德国数学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646-1716）死去已经近三百年，与我国考研有何关联？这个问题并非一般国人所知晓。

根据一项最新研究表明（请见，2012，Katz.Mikhai发表研究论文："Leibniz's Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond"），人们发现：“Leibnizian calculus was free of contradictions, and was better grounded than Berkeley's empiricist criticisms.”意思是说，300年前莱布尼兹所创建的无穷小微积分没有逻辑矛盾，而且，其逻辑基础要比贝克莱的经验主义者批评还要更坚固。此文一出，让不少国内业界人士“大跌眼镜”（不读书者，眼镜不会掉下来）。

         实际上，美国A.Robinson与J.Keisler的研究工作只能算是莱布尼兹无穷小微积分的一个“a belated vindication”（迟到的辩护或证明）。我们的工作更是“马后炮”，是无穷小的啦啦队而已。

          言归正传。我国的考研是当前世界规模最大的高级科技人才的选拔性水平考试，而高级人才的”优胜劣汰“选拔手段主要是依靠所谓的”考研数学“（数一、数二与数三试卷）。实际上，《数学考试大纲》的考试内容及要求均涉及函数概念以及函数的微分与积分，比如：函数f的一般概念（与平面曲线相联系），以及函数的微分与积分的符号（概念的载体），微分法的链式法则与乘积法则（(uv)'=u'v+uv'）和微分与积分符号次序交换定理，等等，都是第一次出自莱布尼兹的手笔（有据可查）。如此看来，我国考研与莱布尼兹的数学成就不无关联，而是关系十分密切。

          根据莱布尼兹乘积求导法则：(uv)'= u'v + uv'（注意：此法则不用极限论可以推得），我们容易证明以下等式成立：

                             1'=（vx1/v）'= v'x(1/v) + vx(1/v)'，

由此可得公式：（1/v)'= -v'/V^2

同理可得求函数商的微分公式：

                       (u/v)'= u'(1/v) + u(1/v)' = (u'v -uv')/v^2

还有，由莱布尼兹乘积求导法则容易推出函数乘幂的求导公式：

                                        (u^m)'= mu^(m-1)u'

特别是，有如下等式：

                          （u^2)'= 2uu'; (u^3)' = 3u^2u;;......

而且容易证明以下等式：

                                （sin^2+ cos^2)' = 2sinsin' + 2coscon'' = 2sincos +2cos(-sin) = 0

由此不难证明著名的三角恒等式：

                                  sin^2+ cos^2 = 1（常数）

             我们可以这样说：如果考生彻底搞懂了莱布尼兹乘积求导法则，那么，考生可以避免许多考研数学中的“典型错误”。