Careercup - Facebook面试题 - 4907555595747328

2014-05-02 07:49

题目链接

原题：

Given a set of n points (coordinate in 2d plane) within a rectangular space, find out a line (ax+by=c), from which the sum of the perpendicular distances of all the points will be minimum. This can has a general usecase like, in a village there are few house, you have to lay a road, such that sum of all the approach roads from each house will be minimum.

题目：给定二维平面上的n个点，请找到一条直线，使得这些点到这条直线的距离之和最小。

解法：点到直线的距离是|a * x + b * y + c| / sqrt(a * a + b * b)。那么这个距离之和就是一堆绝对值的和。你可能很快会想到线性回归的那幅图片：一堆点均匀分散在一条直线的两侧。很遗憾，这个不是最优解，因为最小二乘满足的条件是方差最小，也就是平方和最小(学过线性代数应该知道p-范数的概念，平方和再开方就是2-范数。而范数，就是线性空间里对长度的度量算子。范数最小的时候，也就是我们用最小二乘期待的结果)。平方和最小和绝对值和最小并非同一概念。那么绝对值的和什么时候最小呢？我找到了一篇不太知名的论文，源头链接在此(里面有人提到了那篇论文的链接，我不直接贴链接是因为那人直接把论文内容贴了出来，有侵权嫌疑)。证明实在太绕了，所以我没工夫仔细推理完，只是偷懒引用了其中的一个结论：满足距离之和最短的直线，一定会穿过n个点中的两点。有这个结论，就可以用两层循环遍历所有的直线组合，然后再用一层循环计算所有点的距离。选取距离之和最小的那条直线作为结果。这样写出来的算法，时间复杂度是O(n^3)的。看来不靠谱，但好歹是个解法吧。如果你用最小二乘法来做，时间复杂度应该是O(n^2)的，我相信得到的就算不是最优解，也应该很接近。所以有时你连算法都拿不准的时候，还不如用次优解来代替最优解，因为其他方面的优势可以作为权衡因素。

代码：

 1 // http://www.careercup.com/question?id=4907555595747328

 2 #include <cmath>

 3 #include <iomanip>

 4 #include <iostream>

 5 #include <vector>

 6 using namespace std;

 7 

 8 struct Line {

 9     double a;

10     double b;

11     double c;

12     Line(double _a = 0, double _b = 0, double _c = 0): a(_a), b(_b), c(_c) {};

13 };

14 

15 struct Point {

16     double x;

17     double y;

18     Point(double _x = 0, double _y = 0): x(_x), y(_y) {};

19 };

20 

21 double calcDist(const Point &p, const Line &line)

22 {

23     return abs(line.a * p.x + line.b * p.y + line.c) / sqrt(line.a * line.a + line.b * line.b);

24 }

25 

26 void calcLine(const Point &p1, const Point &p2, Line &line)

27 {

28     line.a = p2.y - p1.y;

29     line.b = p1.x - p2.x;

30     line.c = -((line.a * p1.x + line.b * p1.y) + (line.a * p2.x + line.b * p2.y)) / 2.0;

31 }

32 

33 int main()

34 {

35     vector<Point> p;

36     int n;

37     Line line, min_line;

38     int i, j, k;

39     double dist, min_dist;

40     

41     while (cin >> n && n > 0) {

42         p.resize(n);

43         for (i = 0; i < n; ++i) {

44             cin >> p[i].x >> p[i].y;

45         }

46         

47         do {

48             if (n == 1) {

49                 line = Line(0, 1, -p[0].y);

50                 break;

51             } else if (n == 2) {

52                 min_dist = 0;

53                 calcLine(p[0], p[1], min_line);

54                 break;                

55             }

56             

57             min_dist = -1;

58             for (i = 0; i < n; ++i) {

59                 for (j = i + 1; j < n; ++j) {

60                     dist = 0;

61                     calcLine(p[i], p[j], line);

62                     for (k = 0; k < n; ++k) {

63                         if (k == i && k == j) {

64                             continue;

65                         }

66                         dist += calcDist(p[k], line);

67                     }

68                     if (min_dist < 0 || dist < min_dist) {

69                         min_dist = dist;

70                         min_line = line;

71                     }

72                 }

73             }

74         } while (0);

75         

76         if (min_line.a != 0.0) {

77             cout << min_line.a << 'x';

78         }

79         if (min_line.b != 0.0) {

80             cout << setiosflags(ios::showpos) << min_line.b << 'y';

81         }

82         if (min_line.c != 0.0) {

83             cout << min_line.c;

84         }

85         cout << resetiosflags(ios::showpos) << "=0" << endl;

86         cout << min_dist << endl;

87     }

88     

89     return 0;

90 }