POJ-2065 SETI 高斯消元，扩展GCD

该题题义是给定如下一个方程组：

F(1) = C1 (mod) P
F(2) = C2 (mod) P
F(3) = C3 (mod) P ...

其中F(1) = A(1,1)*x1 + A(1, 2)*x2 + A(1, 3)*x3...

其中A(i, j) = i ^ (j-1).

面对这样一个方程，我们的做法就是先不管方程右端的(mod)P，因为F(i) 和 Ci 是同余的，那么在方程两端乘以一个数是没有影响的，代入某一个方程同样是允许的。于是剩下的就是高斯消元。由于解是唯一的，因此解出来的系数矩阵一定是满秩。接下来就可一用扩展gcd求解未知元了。

代码如下：

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cstdio>

using namespace std;



typedef long long int Int64;



char s[100];



int length, MOD;



Int64 x[100];



int _pow(int a, int b)

{ // 快速幂

    int ret = 1;

    while (b) {

        if (b & 1) {

            ret *= a;

            ret %= MOD;

        }

        a *= a;

        a %= MOD;

        b >>= 1;

    }

    return ret;

}



struct Matrix

{

    Int64 a[100][100];

    void init()

    {

        for (int i = 1; i <= length; ++i) {

            for (int j = 1; j <= length; ++j) {

                a[i][j] = _pow(i, j-1);

            }

            a[i][length+1] = s[i];

        }

    }

    void rswap(int x, int y, int s)

    { // 用于将后面的行交换到第一行上面来

        Int64 t;

        for (int j = s; j <= length+1; ++j) {

            t = a[x][j];

            a[x][j] = a[y][j];

            a[y][j] = t;

        }

    }

    void multi(int x, Int64 M, int s)

    { // 同一行乘以某一数，当然这时为消元准备的

        for (int j = s; j <= length+1; ++j) {

            a[x][j] *= M;

        }

    }

    void relax(int x, int y, int s)

    { // 将某一方程整体迭代进另外一个表达式

        for (int j = s; j <= length + 1; ++j) {

            a[y][j] -= a[x][j];

            a[y][j] = (a[y][j] % MOD + MOD) % MOD;

            a[x][j] = (a[x][j] % MOD + MOD) % MOD;

        }

    }

    void print()

    {

        for (int i = 1; i <= length; ++i) {

            for (int j = 1; j <= length+1; ++j) {

                printf("%5I64d ", a[i][j]);

            }

            puts("");

        }

        puts("");

    }

}M;



Int64 GCD(Int64 a, Int64 b)

{

    Int64 t;

    while (b) {

        t = b;

        b = a % b;

        a = t;

    }

    return a;

}



Int64 LCM(Int64 a, Int64 b)

{

    return a / GCD(a, b) * b;

}



Int64 ext_gcd(Int64 a, Int64 b, Int64 &x, Int64 &y)

{

    Int64 temp, ret;

    if (!b) {

        x = 1, y = 0;

        return a;

    }

    ret = ext_gcd(b, a % b, x, y);

    temp = x, x = y, y = temp - a/b*y;

    return ret;

}



void Gauss()

{

    int i = 1, k;

    Int64 a, b, sum;

    memset(x, 0, sizeof (x));

    for (int j = 1; j <= length; ++j) {

        for (k = i; k <= length; ++k) {

            if (M.a[k][j]) break; 

        }

        if (k > length) continue;

        if (k != i) {

            M.rswap(i, k, j);

        }

        for (k = i + 1; k <= length; ++k) {

            if (M.a[k][j]) {

                Int64 lcm = LCM(M.a[i][j], M.a[k][j]);

                a = lcm/M.a[i][j];

                b = lcm/M.a[k][j];

                if (a > 1) M.multi(i, a, j);

                if (b > 1) M.multi(k, b, j);

                M.relax(i, k, j);

            }

        }

        ++i;

    }

    // M.print();

    // 一定会有唯一解，所以没有进行无解判定

    for (k = i-1; k >= 1; --k) { // 当然这里可以暴力进行求解，毕竟给定的素数不是很大

        Int64 xx, yy, A, B, C = 0, L, G;

        for (int j = k+1; j <= length; ++j) {

            C += x[j] * M.a[k][j];

        }

        A = M.a[k][k], B = MOD;

        C = M.a[k][length+1] - C; 

        G = ext_gcd(A, B, xx, yy);

        L = B / G;

        xx *= C / G; 

        xx = (xx % L + L) % L;

        x[k] = xx;

    }

    for (int j = 1; j <= length; ++j) {

        printf(j == 1 ? "%I64d" : " %I64d", x[j]);

    }

    puts("");

}



int main()

{

    int N;

    scanf("%d", &N);

    while (N--) {

        scanf("%d %s", &MOD, s+1);

        length = strlen(s+1);

        for (int i = 1; i <= length; ++i) {

            if (s[i] != '*') {

                s[i] -= ('a' - 1);

            }

            else {

                s[i] = 0;

            }

        }

        M.init();

        Gauss();

    }

    return 0;

}