程序员爸爸的早教——计数篇

　　当爸爸后，我很快就知道了一个词——早教。有时候真的感觉现在中国的孩子太可怜了，为了让他们赢在起跑线上，从小就要被父母投入轰轰烈烈的教育事业中。什么脑电波音乐、幼儿简笔画、蒙氏数学、右脑识字、语训、跳舞班......，花样层出不穷。想当年我小时候，哪有这些东西，父母不管，到处乱跑，忙着打架、偷邻居家种的西红柿之类工作。这不，又被老婆大人抓差，陪孩子研究新到的”巧虎“学习本。（没小孩的朋友别笑，等你当父母后，可能就知道”巧虎“是嘛东西了。）

　　看看，巧虎书对四岁小孩就开始进行计数训练了。巧虎摘了3个苹果，桃乐比摘了2个苹果，都放到这个篮子里，总共有几个苹果？只见我宝贝女儿伸出手指，从1数起，数到3，再到5个。我再问，”那3加3等于几？”。她又开始数手指，从1数到6。这么低效的算法，怎么行？我马上对她进行了一番辅导，教她“以后尽量不数手指，要心中默默的算”。

　　过了几天，我又考她：“宝贝，3加3等于几？别数手指，用我上次教你的方法。”  女儿说：”现在我早不数手指了”。不错，没伸手指，不过，怎么回事？我晕，她开始眨眼睛，从1眨起，连眨了6下。难道我们家孩子没数学特长，不会吧，当年哥可是参加数学竞赛的（没得奖），论遗传没这么差吧？

　　我心中一动，说不定小孩在这个阶段的数学思维就是这样具象的。你看，我的程序员职业病又患了，可以试试用抽象代数类型来给宝宝的数学思维建模啊！宝宝这个阶段，肯定只知道最简单的自然数了，她已经懂得数数，比较数的大小，还有低效的加法。

　　抽象代数类型定义——

sorts: 集合名

nat自然数 bool布尔值

operation:  操作

                true : bool   

                false : bool

                   0  : nat

　　　　　　　　succ : nat -> nat

　　　　　　　　< : nat * nat -> bool

　　　　　　　　> : nat * nat -> bool

　　　　　　　　+ : nat * nat -> nat

axiom:  公理

　　　　　　0 < 0 = false

　　　　　　0 < succ n = true

　　　　　　succ n < succ m = n < m

　　　　　　n > m = m < n

　　　　　　0 + n = n 

　　　　　　(succ n) + m = succ (n + m)    ＊＊＊

　　抽象代数类型的特殊之处在于，它的集合元素全是用操作定义的，用了基本的归纳法。集合元素之间的关系，用公理来定义。

　　比如，0是自然数的基本情况，succ是构造操作，那么

　　1 ＝ succ 0 

　　2 = succ (succ 0)

 　3 = succ (succ (succ 0))

　　......

　　3～4岁的小孩处于计数初始阶段，他们对数的认知也许就是这样，所以他们在做加法时，是用上面打＊号的那条公理来实现的。比如3＋2，相当于

succ (succ (succ 0)) + succ (succ 0) = succ ( succ (succ 0) + succ (succ 0) )

       = succ  succ ( succ 0 + succ (succ 0) )

       = succ succ succ ( 0 + succ (succ 0) )

            = succ succ succ succ (succ 0)

　　每succ一次，相当于数一次手指，或眨一次眼睛。象我的宝贝不懂得加法的交换律，算完3＋2，你问她2＋3，她从头再来一遍。所以在模型的公理中，没有这条：

　　　　n + m = m + n

　　随着孩子的长大，对计数掌握的越多，我们就要不断扩充模型的能力。首先要增加记忆的定理一项，什么 2＋ 3 ＝5 都变成她熟练掌握的定理，不用算了。操作要扩充，增加减法、乘法、除法等等。公理随之也增多。

　　到了初中，就是把自然数扩展成整数，要有负数的观念。她还要懂得分数，也就是有理数。然后是无理数，实数集合。上了高中，她还要学会复数，算算三角。再到大学，她要是和老爸一样，读computer science，她就会知道抽象代数。等她有小孩，她又教她小孩计数。我正在那里傻乐着瞎想呢，突然女儿的一声召唤把我从梦里带回来，“爸爸，妈妈叫你带我去上画画课”。 唉，早教这个烦人的东西又来了！