让向量、矩阵和张量的求导更简洁些吧

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本文是我在阅读 Erik Learned-Miller 的《Vector, Matrix, and Tensor Derivatives》时的记录。 本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。

1  简化、简化，还是简化（重要的事情说三遍）

在求解涉及到数组的导数时，大部分的困难是因为试图一次性做太多事情。比如说同时求解多个组成部分的导数，在求和符号存在的情况下求解导数，或者使用链式法则。在有丰富的求导经验之前，同时执行所有的这些操作，我们就很容易出错。

1.1 将矩阵计算分解为单个标量的计算

为了简化给定的计算，我们将矩阵的求导分解为每个单独标量元素的表达式，每个表达式只包含标量变量。在写出单个标量元素与其他标量值的表达式后，就可以使用微积分来计算。这比同时进行矩阵的求和以及求导要容易一些。（看起来有点晕，没关系，看后面的案例就清晰了）。

例如：假设我们有一个 阶列向量 ，它是由 维矩阵 和 阶列向量 计算得到：

假设我们计算 关于 的导数。要完完全全的求解导数，就需要计算 中的每一个元素对 中的每一个元素的（偏）导数。那么在本例中，因为 中有 个元素， 中有 个元素，所以一个包含 次运算。

比如说，我们要计算 的第 3 个元素对 的第 7 个元素的（偏）导数，这就是向量中的一个标量对其他向量中的一个标量求导：

在求导之前，首先要做的就是写下计算 的公式， 根据矩阵-向量乘法的定义， 等于矩阵 中的第 3 行和向量 的点积。

现在，我们将原始的矩阵方程式（1）简化成了标量方程式。此时再进行求导就简单多了。

1.2 去除求和符号

虽然可以直接在上述公式中求导，但是在包含求和符号（ ）或者连乘符号（ ）的方程式中求导很容易出错。在求导之前，最好先去掉求和符号，把各项相加的表达式写出来，确保每一项不出错。去掉求和符号的表达式如下所示（下标从 1 开始）：

在这个表达式中，我们专门把 凸显出来，这是因为这一项正是我们要求导的项。显然，可以看出在求 对 的偏导数时，我们只需要关心 这一项即可。因为其他项都不包含 ，它们对 的偏导数均为 0。接下来就很清晰了：

在求导过程中，只关注 中的一个量和 中的一个量，能够把求导过程简化很多。如果以后进行求导时遇到问题，采取这种方式可以帮助我们把问题简化至最基础的程度，这样便于理清思绪、找出问题所在。

1.2.1 完成求导：雅可比矩阵

我们的最终目标是计算出 中的每个元素对 中每个元素的导数，共计 个。

下面的这个雅克比矩阵直观的表示了这些导数：

对于公式 来说， 对 的偏导数可以用 来表示。实际上对于所有的 和 来说，都有

即上述的偏导数矩阵等于：

显然，就是 本身嘛。

因此，我们最终可以得出，对于 ， 对于 的偏导数为：

2 行向量的情况

现在关于神经网络的第三方包特别多，在使用这些包的时候，要特别关注权值矩阵、数据矩阵等的排列。例如：数据矩阵 中包含非常多的向量，每个向量代表一个输入，那到底是矩阵中的每一行代表一个输入，还是每一列代表一个输入呢？

在第一节中，我们介绍的示例中使用的向量 是列向量。不过当 是行向量时，求导的基本思想是一致的。

2.1 示例 2

在本例中， 是一个 阶行向量，它是由 阶行向量 和 维矩阵 和计算得到：

虽然 和 的元素数量和之前的列向量是一样的，但矩阵 相当于第一节使用的矩阵 的转置。并且本例中是矩阵 左乘 ，而不是之前的右乘。

在本例中，我们同样可以写出 的表达式：

同样地，

注意本例中的 的下标和第一节中的相反。如果我们写出完整的雅克比矩阵的话， 我们仍然可以得出完整的求导结果：

3 维度大于 2 的情况 让我们考虑另一个密切相关的情形，如下式：

在这种情形中， 沿着一个坐标变化，而 沿着两个坐标变化。因此，整个导数自然是一个三维数组。一般避免使用“三维矩阵”这种术语，因为矩阵乘法和其他矩阵操作在三维数组中的定义尚不明确。

在处理三维数组时，试图去找到一种展示它们的方法可能带来不必要的麻烦。直接将结果定义为公式会更简单一些，这些公式可用于计算三维中的任何元素。

我们继续从计算标量的导数开始，比如 中的一个元素 和 中的一个元素 。首先要做的还是写出 的表达式：

显然， 在 的表达式中没有起到任何作用，因此，

同时， 对 中第 3 列元素的求导结果是非零的，正如   表达式 中展示的 那样。例如 对 的偏导数为：

一般来说，当 中元素的下标等于 中元素的第二个下标时，其偏导数就是非零的，其他情况则为零。整理如下：

除此之外，三维数组中其他的元素都是 0。如果我们用 来表示 对 的导数,

那么， ，其余的情况等于 0 此时如果我们使用一个二维数组 来表示三维数组 ，

可以看出，三维数组 中的全部数据实际上都可以使用二维数组 来存储，也就是说， 中的非零部分其实是二维的，而非三维的。 以更加紧凑的方式来表示导数数组对于神经网络的高效实现来说，意义重大。

4 多维数据

前面提到的实例中，不论是 还是 都只是一个向量。当需要多条数据时，例如多个向量 组成一个矩阵 时，又该如何计算呢？

我们假设每个单独的 都是一个 阶行向量，矩阵 则是一个 的二维数组。而矩阵 和之前实例中的一样，为 的矩阵。此时 的表达式为：  

是一个 行 列的矩阵。因此， 中的每一行给出一个与输入 中对应行相关的行向量。按照之前的方式，可以写出如下表达式：  
从这个方程式可以看出，对于偏导数 ，只有当 的情况下不为0，其他情况均为0。因为 中的每一个元素都只对 与 中对应的那一行求导， 与 的不同行元素之间的导数均为0。 还可以进一步看出，计算偏导数  

 与 和 的行没关系。

实际上，矩阵 包含了所有的偏导数，我们只需要根据上述公式来找到我们想要的某个具体地偏导数。

如果用 来表示 中的第 行，用 来表示 中的第 行，那么  

5  链式法则

上面介绍了两个基本示例和求导方法，本节将上述方法和链式法则结合起来。

同样，假设 和 为两个列向量，  

在计算 对 的导数时，我们可以直观地将两个矩阵 和 的乘积视为另一个矩阵 ，则  

但是，我们想明确使用链式法则来定义中间量的过程，从而观察非标量求导是如何应用链式法则的。我们将中间量定义为

此时，

那么在求导时，我们使用链式法则：  
为了确保确切地清楚该式的含义，我们还是使用每次只分析一个元素的方法， 中的一个元素对 中的一个元素的导数为：  
链式法则的思想是当某个函数由复合函数表示，那么该复合函数的导师，可以用构成复合函数的各个函数的导数乘积来表示。

如果 中有M个元素，那么上式可以写成：  

回忆一下之前向量对向量的求导方法，我们可以发现，

整理可得：  

至此，我们用 和 中的元素表示出了求导表达式。

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