python拟牛顿法迭代点绘制_《机器学习Python实现_06_优化_拟牛顿法实现(DFP,BFGS)》...
一.简介
通过前面几节的介绍，大家可以直观的感受到：对于大部分机器学习模型，我们通常会将其转化为一个优化问题，由于模型通常较为复杂，难以直接计算其解析解，我们会采用迭代式的优化手段，用数学语言描述如下：
\[\min_{v^k} f(x^k+v^k)
\]
这里目标函数为\(f(x)\)，当前优化变量为\(v^k\)，目标即是找到一个\(v^k\)对当前的\(x^k\)进行更新，使得函数值尽可能的降低，如果目标函数一阶可微，对其作一阶泰勒展开即可得到如下梯度下降的更新公式：
二.梯度下降
对目标函数作一阶泰勒展开：
\[f(x^k+v^k)=f(x^k)+\triangledown f(x^k)^Tv^k
\]
所以要使得\(f(x^k+v^k)
\[v^k=-\lambda_k \triangledown f(x^k),\lambda_k>0
\]
则一定能使\(\triangledown f(x^k)^Tv^k<0\)，所以，我们就得到了梯度下降的更新公式：
\[x^{k+1}=x^k+v^k=x^k-\lambda_k \triangledown f(x^k)
\]
这里\(\lambda_k\)一般可以设置一个较小的定值，或者初始设置一个定值并使其随着迭代次数增加而递减；另外更好的做法是利用一维搜索：\(min_{\lambda_k}f(x^k-\lambda_k\triangledown f(x^k))\)求一个最优的\(\lambda_k\)，接下来我们想一下下面两个问题：
(1)梯度下降法一定能使得函数值下降吗？
(2)若它能使函数值下降，则它是最优的方向吗？
对于第一个问题，泰勒展开其实是有一个条件的，那就是\(v^k\rightarrow 0\)，再结合上面的更新公式，如果\(\lambda_k\)取得过大时，我们是不能省略泰勒展开后面的项的，而且后面项的取值也不一定能保证小于0，所以有时我们设置的学习率\(\lambda_k\)较大时，函数值反而会上升。
所以，当\(v^k\)的取值大到不能忽略后面的项时，泰勒展开的二阶项取值就必须要考虑其中了，所以这时梯度下降法未必时最优的方向，接下来我们看下二阶展开的情况：
三.牛顿法
对其作二阶泰勒展开：
\[f(x^k+v^k)=f(x^k)+\triangledown f(x^k)^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^T\triangledown^2 f(x^k)v^k\\
=f(x^k)+g_k^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k
\]
这里为了方便，记\(g_k=g(x^k)=\triangledown f(x^k),H_k=H(x^k)=\triangledown^2 f(x^k)\)，\(H_k\)表示Hessian矩阵在\(x^k\)处的取值，Hessian矩阵的定义：
\[H(x)=[\frac{\partial f}{\partial x_i\partial x_j}]_{n\times n}
\]
对于大部分机器学习模型，通常目标函数是凸的，所以\(H(x)\)半正定，即对于\(\forall v^k\)，都有\({v^k}^TH_kv^k\geq0\)，此时，\(f(x^k)+g_k^Tv^k+\frac{1}{2}{v^k}^TH_kv^k\)是关于\(v^k\)的凸二次规划问题，所以最优的\(v^k\)在其梯度为0处取得：
\[\frac{\partial f(x^k+v^k)}{\partial v^k}=g^k+H^kv^k=0\\
\Rightarrow v^k=H_k^{-1}(-g_k)
\]
可以发现牛顿法对比梯度下降法，其实牛顿法是对梯度法的方向进行了一个改变\(H_k^{-1}\)，所以，我们可以得到牛顿法的更新公式：
\[x^{k+1}=x^k-\lambda_kH_k^{-1}g_k\\
=x^k+\lambda_k p_k
\]
这里记\(p_k=-H_k^-1g_k\)；
可以发现牛顿法的复杂有点高，因为要求解\(H_k^{-1}\)，那么有没有方便一点的方法呢？比如构建一个矩阵去近似\(H_k\)或者\(H_k^{-1}\)，这便是拟牛顿法的基本思想
四.拟牛顿条件
上面说到了利用一个矩阵去近似Hessian矩阵或者Hessian矩阵的逆，那么这个近似矩阵需要满足怎样的条件呢？我们还是从二阶泰勒展开出发，稍微变换一下：
\[f(x^{k+1})=f(x^k)+g_k^T(x^{k+1}-x^k)+\frac{1}{2}(x^{k+1}-x^k)^TH_k(x^{k+1}-x^k)
\]
两边对\(x^{k+1}\)求偏导可得：
\[g_{k+1}=g_k+H_k(x^{k+1}-x^k)
\]
这便是拟牛顿条件，为了方便，记\(y_k=g_{k+1}-g_k,\delta_k=x^{k+1}-x^k\)，所以：
\[y_k=H_k\delta_k
\]
所以，拟牛顿法也要满足和\(H_k\)一样的性质：
(1)正定性；
(2)满足拟牛顿条件
接下来，简单证明一下如果满足性质(1)：正定性，更新时可以满足函数值下降，假设\(G_k\)去近似\(H_k^{-1}\)，所以：\(G_k\succ 0\)，那么迭代公式为：
\[x^{k+1}=x^k-\lambda_kG_kg_k,\lambda_k>0
\]
将其带入二阶泰勒展开式中：
\[f(x^{k+1})=f(x^k)-\lambda_kg_k^TG_kg_k+\frac{1}{2}\lambda_k^2g_k^TG_k^TH_kG_kg_k
\]
通常\(\lambda_k^2<
五.DFP算法
DFP算法便是利用\(G_k\)近似\(H_k^{-1}\)的一种算法，它的构造很tricky，它假设每一步迭代中矩阵\(G_{k+1}\)是由\(G_k\)加上两个附加项构成的，即：
\[G_{k+1}=G_k+P_k+Q_k
\]
这里\(P_k,Q_k\)是待定项，由于需要满足拟牛顿条件，所以：
\[G_{k+1}y_k=\delta_k=G_ky_k+P_ky_k+Q_ky_k
\]
这里做一个tricky的假设：
\[P_ky_k=\delta_k\\
Q_ky_k=-G_ky_k
\]
这样的\(P_k,Q_k\)不难找到：
\[P_k=\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k}\\
Q_k=-\frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k}
\]
所以，矩阵\(G_{k+1}\)的迭代公式：
\[G_{k+1}=G_k+\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k}-\frac{G_ky_ky_k^TG_k}{y_k^TG_ky_k}
\]
可以证明，只要初始矩阵\(G_0\)正定对称，则迭代过程中的每个矩阵\(G_k\)均正定对称，接下来对其进行代码实现：
import numpy as np
"""
DPF拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度下降法配合使用
"""
class DFP(object):
def __init__(self, x0, g0):
"""
:param x0: 初始的x
:param g0: 初始x对应的梯度
"""
self.x0 = x0
self.g0 = g0
# 初始化G0
self.G0 = np.eye(len(x0))
def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
"""
更新拟牛顿矩阵
:param x1:
:param g1:
:return:
"""
# 进行一步更新
y0 = g1 - self.g0
delta0 = x1 - self.x0
self.G0 = self.G0 + delta0.dot(delta0.T) / delta0.T.dot(y0)[0][0] - self.G0.dot(y0).dot(y0.T).dot(self.G0) / y0.T.dot(
self.G0).dot(y0)[0][0]
def adjust_gradient(self, gradient):
"""
对原始的梯度做调整
:param gradient:
:return:
"""
return self.G0.dot(gradient)
应用到LogisticRegression
我们试一试将DFP算法应用到LogisticRegression，修改的地方如下：
fit函数追加如下的一个判断：
elif self.solver == 'dfp':
self.dfp = None
self._fit_sgd(x, y)
_fit_sgd函数中，在梯度更新前做如下调整：
if self.solver == 'dfp':
if self.dfp is None:
self.dfp = optimization.DFP(x0=self.w, g0=dw)
else:
# 更新一次拟牛顿矩阵
self.dfp.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
# 调整梯度方向
dw = self.dfp.adjust_gradient(dw)
"""
梯度下降和DFP做一下对比
"""
from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
data, target = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_classes=2, n_informative=1, n_redundant=0,
n_repeated=0, n_clusters_per_class=1)
target = target.reshape(200, 1)
import os
os.chdir('../')
from ml_models.linear_model import LogisticRegression
sgd_model = LogisticRegression(epochs=50)
sgd_model.fit(data, target)
dfp_model = LogisticRegression(solver='dfp',epochs=50)
dfp_model.fit(data,target)
#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')
[]
可以发现，大部分情况下DFP比SGD收敛的更快，且收敛效果更好
#分类效果对比
sgd_model.plot_decision_boundary(data,target)
dfp_model.plot_decision_boundary(data,target)
六.BFGS算法
BFGS算法是用一个矩阵\(B_k\)去模拟海瑟矩阵\(H_k\)，它的更新公式同样假设有两个附加项：
\[B_{k+1}=B_k+P_k+Q_k
\]
当然，它需要满足拟牛顿条件：
\[B_{k+1}\delta_k=y_k
\]
所以：
\[B_{k+1}\delta_k=B_k\delta_k+P_k\delta_k+Q_k\delta_k=y_k
\]
考虑，使\(P_k\)和\(Q_k\)满足下面两个条件：
\[P_k\delta_k=y_k\\
Q_k\delta_k=-B_k\delta_k
\]
可以得到满足条件的解：
\[P_k=\frac{y_ky_k^T}{y_k^T\delta_k}\\
Q_k=-\frac{B_k\delta_k\delta_k^TB_k}{\delta_k^TB_k\delta_k}
\]
所以更新公式：
\[B_{k+1}=B_k+\frac{y_ky_k^T}{y_k^T\delta_k}-\frac{B_k\delta_k\delta_k^TB_k}{\delta_k^TB_k\delta_k}
\]
同样可以证明，如果\(B_0\)正定对称，那么迭代过程中的每个矩阵\(B_k\)都是正定对称的，由于这里是对\(H_k\)的近似，所以每次更新梯度时，还需要对\(B_k\)做求逆计算，我们可以使用两次如下的Sherman-Morrison公式：
\[(A+uu^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uu^TA^{-1}}{1+u^TA^{-1}u}
\]
得到BFGS算法关于\(G_k\)的迭代公式：
\[G_{k+1}=(I-\frac{\delta_ky_k^T}{\delta_k^Ty_k})G_k(I-\frac{\delta_ky_k^T}{\delta_k^Ty_k})^T+\frac{\delta_k\delta_k^T}{\delta_k^Ty_k}
\]
接下来，进行代码实现：
"""
BFGS拟牛顿法,封装到ml_models.optimization模块,与梯度下降法配合使用
"""
class BFGS(object):
def __init__(self, x0, g0):
"""
:param x0: 初始的x
:param g0: 初始x对应的梯度
"""
self.x0 = x0
self.g0 = g0
# 初始化B0
self.B0 = np.eye(len(x0))
def update_quasi_newton_matrix(self, x1, g1):
"""
更新拟牛顿矩阵
:param x1:
:param g1:
:return:
"""
# 进行一步更新
y0 = g1 - self.g0
delta0 = x1 - self.x0
self.B0 = self.B0 + y0.dot(y0.T) / y0.T.dot(delta0)[0][0] - self.B0.dot(delta0).dot(delta0.T).dot(self.B0) / \
delta0.T.dot(self.B0).dot(delta0)[0][0]
def adjust_gradient(self, gradient):
"""
对原始的梯度做调整
:param gradient:
:return:
"""
return np.linalg.pinv(self.B0).dot(gradient)
应用到LogisticRegression
fit函数追加如下的一个判断：
elif self.solver == 'bfgs':
self.bfgs = None
self._fit_sgd(x, y)
_fit_sgd函数中，在梯度更新前做如下调整：
if self.solver == 'bfgs':
if self.bfgs is None:
self.bfgs = optimization.BFGS(x0=self.w, g0=dw)
else:
# 更新一次拟牛顿矩阵
self.bfgs.update_quasi_newton_matrix(self.w, dw)
# 调整梯度方向
dw = self.bfgs.adjust_gradient(dw)
#训练模型
bfgs_model = LogisticRegression(solver='bfgs',epochs=50)
bfgs_model.fit(data,target)
#损失函数对比
plt.plot(range(0, len(sgd_model.losses)), sgd_model.losses,'b')
plt.plot(range(0, len(dfp_model.losses)), dfp_model.losses,'r')
plt.plot(range(0, len(bfgs_model.losses)), bfgs_model.losses,'y')
[]
可以发现大部分情况下BFGS会比DFS收敛更快
#查看效果
bfgs_model.plot_decision_boundary(data,target)