平衡二叉树AVL

一、 相关概念

1.1 AVL定义

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是颗空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：

• 左右两个子树的高度差值不超过1；
• 它的左右子树也是一颗平衡二叉树；

1.2 平衡因子

某节点的左子树与右子树的高度差即为该节点的平衡因子BF。

按照定义我们可以得到，AVL上所有结点的平衡因子只可能是 -1，0 或 1。
下面这张图中标出了每一个节点的平衡因子，而根节点的平衡因子为-2，所以显然这不是一颗平衡二叉树。

1.3 AVL的作用

为了解决搜索二叉树在极端的情况下退化成单支树，引入了平衡二叉树，使得查找的效率得到改善；

二、 失衡调整

在平衡二叉树中插入一个新结点后，从该结点起向上寻找第一个不平衡的结点，以确定该树是否失衡。若找到，则以该结点为根的子树称为最小失衡子树。

2.1 LL型

LL型指的是在最小失衡子树的左孩子的左子树上插入了新的结点。

LL型指的是在最小失衡子树左孩子的左子树上插入了新的结点。失衡调整如下图，先找到最小失衡子树的根8，以其左孩子结点6为轴，对不平衡结点8进行右旋操作。右旋是指让6顶替8的位置成为原本最小不平衡子树的新的根节点，并置8为6的右孩子，如果6存在右子树7,则置7为8的左子树。

2.2 RR型

RR型指的是在最小失衡子树的右孩子的右子树上插入了新的结点，与LL型对称。

失衡调整如下图，先找到最小失衡子树的根6，以其右孩子结点8为轴，对不平衡结点6进行左旋操作。左旋是指让8顶替6的位置成为原本最小不平衡子树的新的根节点，并置6为8的左孩子，如果8存在左子树7,则置7为6的右子树。

2.3 LR型

LR型指的是最小失衡子树的左孩子的右子树上插入了新的结点。

LR型要进行两步操作，与名字对应，先左旋再右旋。
失衡调整如下图，首先找到以10为根的最小失衡子树，以该子树的左孩子结点4为轴，对右子树结点8进行左旋操作，使之变为LL型。再以8为轴，对不平衡结点10进行右旋操作。

2.4 RL型

RL型指的是最小失衡子树的右孩子的左子树上插入了新的结点。

RL型与LR型对称，也要进行两步操作，先右旋再左旋。
失衡调整如下图，首先找到以2为根的最小失衡子树，以该子树的右孩子结点10为轴，对左子树结点8进行右旋操作，使之变为RR型。再以8为轴，对不平衡结点2进行左旋操作。