《C/C++ 面试 100 例》（九）补码全网最全总结

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一、引例

	printf("%d\n", abs(INT_MIN));

• 这段的代码正确输出应该是什么呢？
• 凭直觉肯定是个正数，因为 abs 这个函数是求一个数的绝对值，数学上任何数的绝对值都是大于等于0的；然而…

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• 那么我们来研究一下，计算机背后到底做了什么手脚；

二、机器数和真值

1、机器数

• 我们知道计算机是内部由 0 和 1 组成的编码，无论是整数还是浮点数，都会涉及到负数，对于机器来说是不知道正负的，而 “正” 和 “负” 正好是两种对立的状态，所以规定用 “0” 表示 “正”，“1” 表示 “负”，这样符号就被数字化了，并且将它放在有效数字的前面，就成了有符号数；
• 把符号 “数字化” 的数称为 机器数；

2、真值

• 而带有 “+” 或者 “-” 的数称为 真值；
• 然而，当符号位和数值部分放在一起后，如何让它一起参与运算呢？那就要涉及到接下来要讲的计算机的各种编码了；

三、计算机编码

1、原码

• 这里的原码并不是源码（源代码）的意思，而是机器数中最简单的一种表示形式；为了快速理解，这里只介绍整数，不介绍小数的情况；

【原码定义】 符号位为 0 代表正数，符号位为 1 代表负数，数值位为真值的绝对值。
$$[x{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}x& (0<=x<2^{n-1})\\ 2^{n-1}-x& (-2^{n-1}<x<=0)\end{array}$$

• （这里 $n$ 的取值是 $8、16、32、64$，目前计算机的整型 int 都是 32 位的，但是为了便于阅读，本文介绍的整数都按照 8 位来举例）

【原码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，原码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时，原码为：10100101；
• 原码是最贴近人类的编码方式，并且很容易和真值进行转换，但是让计算机用原码进行加减运算过于繁琐，如果两个数符号位不同，需要先判断绝对值大小，然后用绝对值大的减去绝对值小的，并且符号以绝对值大的数为准，本来是加法却需要用减法来实现；为了让计算机做的事情尽量简单，于是设计出来了补码；

2、补码

【补码定义】 正数的补码是它本身，符号位为0；负数的补码为原码数值位取反后+1，符号位为1；

• $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x& (0<=x<2^{n-1})\\ 2^n+x& (-2^{n-1}<=x<0)\end{array}$$

【补码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，补码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时， 补码为：11011011；
• （尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 $2^n$）

3、反码

• 反码一般用来作为 补码 求 原码 或者 原码 求 补码 的中间过渡；

【反码定义】 正数的反码是它本身，符号位为0；负数的反码为原码数值取反，符号位为1；
$$[x{]}_{反}=\{\begin{array}{ll}x& (0<=x<2^{n-1})\\ 2^n-1+x& (-2^{n-1}<x<=0)\end{array}$$
【反码举例】

• 1）当真值 x = +100101 时，反码为：00100101；
• 2）当真值 x = -100101 时，反码为：11011010；

（尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 $2^n-1$）

4、编码总结

• 1）这三种机器数的最高位均为符号位；
• 2）当真值为正数时，原码、补码、反码的表示形式相同，符号位用 “0” 表示，数值部分真值相同；

$[+1]=[00000001{]}_{原}=[00000001{]}_{反}=[00000001{]}_{补}$

• 3）当真值为负数时，原码、补码、反码的表示形式不同，但是符号位都用 “1” 表示，数值部分：反码是原码的 “每位求反”，补码是原码的 “取反加1”；

$[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补$

四、为什么要用补码

1、主要目的

• 计算机的四则运算希望设计的尽量简单。但是引入符号位的概念，对于计算机来说还要考虑正负数相加，等于引入了减法，所以希望是计算机底层只设计一个加法器，就能把加法和减法都做了。

2、原码运算

• 对于原码的加法，两个正数相加的情况如下：

$1+1=[00000001{]}_{原}+[00000001{]}_{原}=[00000010{]}_{原}$ = 2

• 好像没有什么问题？于是人们开始探索减法，但是起初设计的人的初衷是希望不用减法，只用加法运算就能够将加法和减法都包含进来，于是，我们尝试用原码的负数表示来做运算；

$1-2=1+(-2)=[00000001{]}_{原}+[10000010{]}_{原}=[10000011{]}_{原}$ = -3

• 这个结果是错的，于是为了解决减法问题，引入了反码运算；

3、反码运算

• 对于反码的加法，一正一负两数相加的情况如下：

$1-2=1+(-2)=[00000001{]}_{反}+[11111101{]}_{反}=[11111110{]}_{反}$ = -1

• 没有什么问题？但是某种情况下，反码会有歧义，当两个相同的数相减时，如下：

$1-1=1+(-1)=[00000001{]}_{反}+[11111110{]}_{反}=[11111111{]}_{反}$ = -0

• 这里出现了一个奇怪的概念，就是 “负零”，反码运算过程中会出现有两个编码表示零这个数值；
• 为了解决正负零的问题引入了补码的概念；

4、补码运算

• 1）一正一负两个数相加，且非零的情况：

$1-2=1+(-2)=[00000001{]}_{补}+[11111110{]}_{补}=[11111111{]}_{补}$ = -1

• 2）一正一负两个数相加，且答案为零的情况：

$1-1=1+(-1)=[00000001{]}_{补}+[11111111{]}_{补}=[00000000{]}_{补}$ = 0

两个互为相反数的数相加后，得到的数的补码为 $2^n$（你可以认为是是溢出了），和我们之前提到的定义吻合；

• 综上所述，计算机内部都是用补码表示；

五、回到原点

• 最后我来回答下，文章一开始提到的那个问题，即为什么一个负数的绝对值还是一个负数；
• 这个负数不是一个一般的负数，它是32位有符号整型的最小值，即：
  $$INT\_MIN=-2^{31}$$
• 它的补码表示为：
  $$[-2^{31}{]}_{补}=[10000000000000000000000000000000{]}_{补}$$
• 从补码的定义出发：
  $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x& (0<=x<2^{31})\\ 2^{32}+x& (-2^{31}<=x<0)\end{array}$$

$2^{31}-2^{31}=2^{31}+(-2^{31})=X+[-2^{31}{]}_{补}=0$

解这个简单方程得到 $X$ 唯一的值为：
$$[10000000000000000000000000000000{]}_{补}$$

• 所以在 32位有符号整数体系内， $INT\_MIN=-INT\_MIN$；