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在这个例子中，我们考虑随机波动率模型 SV0 的应用，例如在金融领域。

统计模型

随机波动率模型定义如下

并为

其中 yt 是因变量，xt 是 yt 的未观察到的对数波动率。N(m,σ2) 表示均值 m 和方差 σ2 的正态分布。

αα、β 和 σ 是需要估计的未知参数。

BUGS语言统计模型

文件内容 'sv.bug'：

moelfle = 'sv.bug' # BUGS模型文件名
cat(readLies(moelfle ), sep = "\\n")

# 随机波动率模型SV_0
# 用于随机波动率模型
var y\[t\_max\], x\[t\_max\], prec\_y\[t\_max\]


model
{
  alha ~ dnorm(0,10000)
  logteta ~ dnorm(0,.1)
  bea <- ilogit(loit_ta)
  lg_sima ~ dnorm(0, 1)
  sia <- exp(log_sigma)

  x\[1\] ~ dnorm(0, 1/sma^2)
  pr_y\[1\] <- exp(-x\[1\])
  y\[1\] ~ dnorm(0, prec_y\[1\])
  for (t in 2:t_max)
  {
    x\[t\] ~ dnorm(aa + eta*(t-1\]-alha, 1/ia^2)
    pr_y\[t\] <- exp(-x\[t\])
    y\[t\] ~ dnorm(0, prec_y\[t\])
  }

设置

设置随机数生成器种子以实现可重复性

set.seed(0)

加载模型并加载或模拟数据

sample_data = TRUE # 模拟数据或SP500数据
t_max = 100

if (!sampe_ata) {
# 加载数据  tab = read.csv('SP500.csv')
  y = diff(log(rev(tab$ose)))
  SP5ate_str = revtab$te\[-1\])

  ind = 1:t_max
  y = y\[ind\]
  SP500\_dae\_r = SP0dae_tr\[ind\]
  SP500\_e\_num = as.Date(SP500_dtetr)

模型参数

if (!smle_dta) {
  dat = list(t_ma=ax, y=y)
} else {
  sigrue = .4; alpa_rue = 0; bettrue=.99;
  dat = list(t\_mx=\_mx, sigm_tue=simarue,
              alpatrue=alhatrue, bet\_tue=e\_true)
}

如果模拟数据，编译BUGS模型和样本数据

data = mdl$da()

绘制数据

对数收益率

Biips粒子边际Metropolis-Hastings

我们现在运行Biips粒子边际Metropolis-Hastings （Particle Marginal Metropolis-Hastings），以获得参数 α、β 和 σ 以及变量 x 的后验 MCMC 样本。

PMMH的参数

n_brn = 5000 #  预烧/适应迭代的数量
n_ir = 10000 #预烧后的迭代次数
thn = 5 #对MCMC输出进行稀释
n_art = 50 # 用于SMC的nb个粒子
para\_nmes = c('apha', 'loit\_bta', 'logsgma') # 用MCMC更新的变量名称（其他变量用SMC更新）。
latetnams = c('x') # 用SMC更新的、需要监测的变量名称

初始化PMMH

运行 PMMH

update(b\_pmh, n\_bun, _rt) #预烧和拟合迭代

samples(oj\_mh, ter, n\_art, thin=hn) # 采样

汇总统计

summary(otmmh, prob=c(.025, .975))

计算核密度估计

density(out_mh)

参数的后验均值和置信区间

for (k in 1:length(pram_names)) {
  suparam = su\_pmm\[\[pam\_as\[k\]\]\]
  cat(param$q)
}

参数的MCMC样本的踪迹

if (amldata)
  para\_tue = c(lp\_tue, log(dt$bea_rue/(-dta$eatru)), log(smtue))
)

for (k in 1:length(param_aes)) {
  smps_pm = tmmh\[\[paranesk\]\]
  plot(samlespram\[1,\]

PMMH：跟踪样本参数

参数后验的直方图和 KDE 估计

for (k in 1:length(paramns)) {
  samps\_aram = out\_mmh\[\[pramnaes\[k\]\]\]
  hist(sple_param)
  if (sample_data)
    points(parm_true)
}

PMMH：直方图后验参数

for (k in 1:length(parm) {
  kd\_pram =kde\_mm\[\[paramames\[k\]\]\]
  plot(kd_arm, col'blue
  if (smpldata)
    points(ar_true\[k\])
}

PMMH：KDE 估计后验参数

x 的后均值和分位数

x\_m\_mean = x$mean
x\_p\_quant =x$quant
plot(xx, yy)
polygon(xx, yy)
lines(1:t\_max, x\_p_man)
if (ame_at) {
  lines(1:t\_ax, x\_true)

} else
  legend(
         bt='n)

PMMH：后验均值和分位数

x 的 MCMC 样本的踪迹

par(mfrow=c(2,2))
for (k in 1:length) {
  tk = ie_inex\[k\]
      
  if (sample_data)
    points(0, dtax_t
}
if (sml_aa) {
  plot(0
  legend('center')
}

PMMH：跟踪样本 x

x 后验的直方图和核密度估计

par(mfow=c(2,2))
for (k in 1:length(tie_dex)) {
  tk = tmnex\[k\]
  hist(ot_m$x\[tk,\]
       main=aste(t=', t, se='')
  if (sample_data)
    points(ata$x_re\[t\], 
}
if (saml_dta) {
  plot(0, type='n', bty='n', x
  legend('center
         bty='n')

}

PMMH：后_边际_直方图

par(mfrow=c(2,2))
for (k in 1:length(idx)) {
  tk =m_dx\[k\]
  plot(kmmk\]\]  if (alata)
    point(dat_r\[k\], 0)
}
if (aldt) {
  plot(0, type='n', bty='n', x, pt.bg=c(4,NA)')
}