「leetcode」491.递增子序列【回溯算法】详细图解！

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491.递增子序列

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/increasing-subsequences/

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

输入: [4, 6, 7, 7]
输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

说明:

• 给定数组的长度不会超过15。
• 数组中的整数范围是 [-100,100]。
• 给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

思路

这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。

这又是子集，又是去重，是不是不由自主的想起了刚刚讲过的回溯算法：求子集问题（二）。

就是因为太像了，更要注意差别所在，要不就掉坑里了！

在回溯算法：求子集问题（二）中我们是通过排序，再加一个标记数组来达到去重的目的。

而本题求自增子序列，是不能对原数组经行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用之前的去重逻辑！

本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：

回溯三部曲

• 递归函数参数

本题求子序列，很明显一个元素不能重复使用，所以需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。

代码如下：

vector> result;
vector path;
void backtracking(vector& nums, int startIndex) 

• 终止条件

本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点，所以和回溯算法：求子集问题！一样，可以不加终止条件，startIndex每次都会加1，并不会无限递归。

但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下：

if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
}

• 单层搜索逻辑

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能在使用了

那么单层搜索代码如下：

unordered_set uset; // 使用set来对本层元素进行去重
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
    if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
            || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
            continue;
    }
    uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, i + 1);
    path.pop_back();
}

对于已经习惯写回溯的同学，看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);，下面却没有对应的pop之类的操作，应该很不习惯吧，哈哈

这也是需要注意的点，unordered_set uset; 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！

最后整体C++代码如下：

C++代码

// 版本一
class Solution {
private:
    vector> result;
    vector path;
    void backtracking(vector& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        unordered_set uset; // 使用set对本层元素进行去重
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
                    continue;
            }
            uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector> findSubsequences(vector& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

优化

以上代码用我用了unordered_set来记录本层元素是否重复使用。

其实用数组来做哈希，效率就高了很多。

注意题目中说了，数值范围[-100,100]，所以完全可以用数组来做哈希。

程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且每次重新定义set，insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费事的。

那么优化后的代码如下：

// 版本二
class Solution {
private:
    vector> result;
    vector path;
    void backtracking(vector& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
        }
        int used[201] = {0}; // 这里使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || used[nums[i] + 100] == 1) {
                    continue;
            }
            used[nums[i] + 100] = 1; // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector> findSubsequences(vector& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

这份代码在leetcode上提交，要比版本一耗时要好的多。

所以正如在哈希表：总结篇！（每逢总结必经典）中说的那样，数组，set，map都可以做哈希表，而且数组干的活，map和set都能干，但如何数值范围小的话能用数组尽量用数组。

总结

本题题解清一色都说是深度优先搜索，但我更倾向于说它用回溯法，而且本题我也是完全使用回溯法的逻辑来分析的。

相信大家在本题中处处都能看到是回溯算法：求子集问题（二）的身影，但处处又都是陷阱。

对于养成思维定式或者套模板套嗨了的同学，这道题起到了很好的警醒作用。更重要的是拓展了大家的思路！

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