第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)

蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组 )

  • #A ASC
  • #B 卡片
    • 朴素解法
    • 弯道超车
  • #C 直线
    • 直线方程集合
    • 分式消除误差
    • 平面几何
  • #D 货物摆放
    • 暴力搜索
    • 缩放质因子
  • #E 路径
    • 搜索
      • 深度优先搜索
      • 记忆化搜索
      • 枝剪广搜
      • 双向搜索
    • 单源最短路径
      • Dijkstra
      • Floyd
      • A*
    • 动态规划
  • #F 时间显示
    • Java Win
    • 不依赖 API 的实现
  • #G 最少砝码
    • 变种三进制
  • #H 杨辉三角形
    • 类比单调数列
  • #I 双向排序
    • 待更
  • #J 括号序列
    • 待更


Placeholder


#A ASC

本题总分:5 分


问题描述

  已知大写字母 A A A A S C I I ASCII ASCII 码为 65 65 65,请问大写字母 L L L A S C I I ASCII ASCII 码是多少?


答案提交

  这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。


76

calcCode:

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    void run() {
     
        // System.out.println(65 + 'L' - 'A');
        System.out.println((int)'L');
    }
}

麻烦签到题写的认真一点,谢谢。


#B 卡片

本题总分:5 分


问题描述

  小蓝有很多数字卡片,每张卡片上都是数字 0 0 0 9 9 9
  小蓝准备用这些卡片来拼一些数,他想从 1 1 1 开始拼出正整数,每拼一个,就保存起来,卡片就不能用来拼其它数了。
  小蓝想知道自己能从 1 1 1 拼到多少。
  例如,当小蓝有 30 30 30 张卡片,其中 0 0 0 9 9 9 3 3 3 张,则小蓝可以拼出 1 1 1 10 10 10,但是拼 11 11 11 时卡片 1 1 1 已经只有一张了,不够拼出 11 11 11
  现在小蓝手里有 0 0 0 9 9 9 的卡片各 2021 2021 2021 张,共 20210 20210 20210 张,请问小蓝可以从 1 1 1 拼到多少?
  提示:建议使用计算机编程解决问题。


答案提交

  这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。


3181


朴素解法


public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    void run() {
      System.out.println(calc(2021)); }

    int calc(int upper) {
     
        int[] count = new int[10];
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n)
            do
                if (++count[k % 10] > upper)
                	return n - 1;
            while ((k /= 10) > 0);
    }
}

  没什么好说的。


弯道超车


  观察 [ 1 , 9 ] [1,9] [1,9] 这个区间中, [ 0 , 9 ] [0,9] [0,9] 的出现情况。

  在 [ 1 , 9 ] [1,9] [1,9] 中, 1 1 1 9 9 9 各出现 1 1 1 次。

  把观察的范围扩大到 [ 1 , 99 ] [1,99] [1,99],十位的 1 1 1 出现 [ 10 , 19 ] [10,19] [10,19] 10 10 10 次,十位的 2 2 2 出现 [ 20 , 29 ] [20,29] [20,29] 10 10 10 次, ⋯ \cdots ,十位的 9 9 9 出现 [ 90 , 99 ] [90,99] [90,99] 10 10 10 次,低位 [ 0 , 9 ] [0,9] [0,9] 重复出现 10 10 10 次, 1 1 1 9 9 9 各出现 20 20 20 次, 0 0 0 出现 9 9 9 次。

  将这个观察范围继续扩大,会发现 1 1 1 的使用次数总是不小于 0 0 0 2 2 2 9 9 9,也就是说统计 0 0 0 2 2 2 9 9 9 是没有意义的。

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    void run() {
      System.out.println(calc(2021)); }

    int calc(int upper) {
     
        int count = 0;
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n) {
     
            do
                if (k % 10 == 1) count++;
            while ((k /= 10) > 0);
            if (count >= upper)
                return count == upper ? n : n - 1;
        }
    }
}

#C 直线

本题总分:10 分


问题描述

  在平面直角坐标系中,两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上,那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
  给定平面上 2 × 3 2 × 3 2×3 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 3 , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)0x<2,0y<3,xZ,yZ},即横坐标是 0 0 0 1 1 1 (包含 0 0 0 1 1 1) 之间的整数、纵坐标是 0 0 0 2 2 2 (包含 0 0 0 2 2 2) 之间的整数的点。这些点一共确定了 11 11 11 条不同的直线。
  给定平面上 20 × 21 20 × 21 20×21 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 20 , 0 ≤ y < 21 , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)0x<20,0y<21,xZ,yZ},即横坐标是 0 0 0 19 19 19 (包含 0 0 0 19 19 19) 之间的整数、纵坐标是 0 0 0 20 20 20 (包含 0 0 0 20 20 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。


答案提交

  这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。


40257


直线方程集合


  一种朴素的想法,是将所有点连接起来,去掉重复的线,然后统计。

  为了方便表示,这里采用斜截式方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b 来表示每一条直线,其中 k k k 为直线斜率, b b b 为直线在 y y y 轴上的截距,并统一不处理斜率不存在的线,将结果加上一个 20 20 20

  注意! 这段程序的结果是不准确的。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
     
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (double y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
     
                            double k = (y2 - y1) / (x2 - x1);
                            double b = -x1 * k + y1;
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Line {
     

        double k, b;

        Line(double b, double k) {
     
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
     
            return k == ((Line)obj).k && b == ((Line)obj).b;
        }

        @Override
        public int hashCode() {
     
            return (int)k ^ (int)b;
        }
    }
}

分式消除误差


  斜率在浮点数表示下,精度那是参差不齐,诚然可以将误差限制在一个范围内,当绝对差落入当中时,我们就将其视为值相同。

  但是对于这种需要可表示的范围小的时候,我们可以定义分式来做到无误差,而不是控制精度。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
     
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
     
                            Fraction k = new Fraction(y2 - y1, x2 - x1);
                            Fraction b = new Fraction(y1 * (x2 - x1) - x1 * (y2 - y1),x2 - x1);
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Fraction {
     

        int numerator, denominator;

        Fraction(int numerator, int denominator) {
     
            int gcd = gcd(numerator, denominator);
            this.denominator = denominator /gcd;
            this.numerator = numerator / gcd;
        }

        int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
     
            return this.numerator == ((Fraction)obj).numerator && this.denominator == ((Fraction)obj).denominator;
        }
    }

    class Line {
     

        Fraction k, b;

        Line(Fraction b, Fraction k) {
     
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
     
            return this.k.equals(((Line)obj).k) && this.b.equals(((Line)obj).b);
        }

        @Override
        public int hashCode() {
     
            return k.denominator;
        }
    }
}

平面几何


  这是一个平面直角坐标系,原点与 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 连成一条线段。

第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第1张图片
  我们将经过这两点的直线,以及这条直线经过的点与该点于横竖轴的垂线标记出来。
第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第2张图片
  显然,若直线经过 ( x 1 , y 1 ) (x_{1},y_{1}) (x1,y1) ( x 2 , y 2 ) (x_{2},y_{2}) (x2,y2) 两点,那么它必然也经过 ( x 1 + k ( x 1 − x 2 ) , y 1 + k ( y 1 − y 2 ) ) (x_{1} +k(x_{1} - x_{2}),y_{1} + k(y_{1} - y_{2})) (x1+k(x1x2),y1+k(y1y2)) k ∈ Z k \in Z kZ

  若在连接一条直线时,将所有直线经过的点标记起来,在下次遇到已经标记过的两点,我们便可直接跳过。

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
     
        int count = 0;
        boolean[][][][] marked = new boolean[X][Y][X][Y];
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++) {
     
                marked[x1][y1][x1][y1] = true;
                for (int x2 = 0; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++) {
     
                        if (marked[x1][y1][x2][y2]) continue;
                        int x = x1, y = y1, xOffset = x - x2, yOffset = y - y2;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
     
                            x += xOffset;
                            y += yOffset;
                        }
                        x -= xOffset;
                        y -= yOffset;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
     
                            for (int i = x - xOffset, j = y - yOffset; i >= 0 && i < X && j >= 0 && j < Y; i -= xOffset, j -= yOffset) {
     
                                marked[x][y][i][j] = marked[i][j][x][y] = true;
                            }
                            x -= xOffset;
                            y -= yOffset;
                        }
                        count++;
                    }
            }
        System.out.println(count);
    }
}

  我觉得可能会再考个差不多的,这里给大伙一个推论。

  平面直角坐标系上有 n × n n × n n×n n ≥ 2 n \ge 2 n2 个点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < n , 0 ≤ y < n , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)0x<n,0y<n,xZ,yZ},从原点出发可连接的不同直线为 1 ≤ x , y < n 1 \leq x,y 1x,y<n x ≠ y x \ne y x=y g c d ( x , y ) = 1 gcd(x,y) = 1 gcd(x,y)=1 的次数加 3 3 3

  感兴趣的读者可以自行证明。

  同时在 1 ≤ x < y < n 1 \leq x < y < n 1x<y<n 时, g c d ( x , y ) = 1 gcd(x,y) = 1 gcd(x,y)=1 的出现次数恰好等于 ∑ y = 2 n − 1 φ ( y ) \displaystyle\sum_{y = 2}^{n-1}\varphi(y) y=2n1φ(y),其中 φ \varphi φ 为欧拉函数。

  能力有限,这里便不再继续讨论。


#D 货物摆放

本题总分:10 分


问题描述

  小蓝有一个超大的仓库,可以摆放很多货物。
  现在,小蓝有 n n n 箱货物要摆放在仓库,每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向,每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
  小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L 、 W 、 H L、W、H LWH 的货物,满足 n = L × W × H n = L × W × H n=L×W×H
  给定 n n n,请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
  例如,当 n = 4 n = 4 n=4 时,有以下 6 6 6 种方案: 1 × 1 × 4 1×1×4 1×1×4 1 × 2 × 2 1×2×2 1×2×2 1 × 4 × 1 1×4×1 1×4×1 2 × 1 × 2 2×1×2 2×1×2 2 × 2 × 1 2 × 2 × 1 2×2×1 4 × 1 × 1 4 × 1 × 1 4×1×1
  请问,当 n = 2021041820210418 n = 2021041820210418 n=2021041820210418 (注意有 16 16 16 位数字)时,总共有多少种方案?
  提示:建议使用计算机编程解决问题。


答案提交

  这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。


2430


暴力搜索


  每届必考的基本算术定理。

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    long n = 2021041820210418L;

    void run() {
     
        List<Integer> exps0 = new ArrayList();
        ArrayDeque<Integer> exps1 = new ArrayDeque();
        for (int k = 2; k <= n; k++)
            if (n % k == 0) {
     
                int e = 0;
                while (n % k == 0) {
     
                    n /= k;
                    e++;
                }
                exps0.add(e);
            }
        System.out.println(dfs(exps0, exps1, 0));
    }

    int dfs(List<Integer> exps0, ArrayDeque<Integer> exps1, int cur) {
     
        if (cur == exps0.size()) {
     
            int comb = 1;
            for (int exp : exps1)
                comb *= exp + 1;
            return comb;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = exps0.get(cur); i >= 0; i--) {
     
            exps1.push(i);
            ans += dfs(exps0, exps1, cur + 1);
            exps1.pop();
        }
        return ans;
    }
}

  直接套两 for 也不是不行,但这么写出来的程序,通常到比赛结束都跑不完。

  因此我们要避免无效因子的判断,

  这里统计的为质因子分成三份,可能的组合个数,它与原命题等价。

  没什么好讲的。

  只用套两 for 是因为一个数的因子只能成对出现,

  扫一下数盲。


缩放质因子


  举个例子,

  当 n = 9 n = 9 n=9  时,有 6 6 6 种方案: 1 × 1 × 9 1×1×9 1×1×9 1 × 3 × 3 1×3×3 1×3×3 1 × 9 × 1 1×9×1 1×9×1 3 × 1 × 3 3×1×3 3×1×3 3 × 3 × 1 3 × 3 × 1 3×3×1 9 × 1 × 1 9 × 1 × 1 9×1×1;

  当 n = 25 n = 25 n=25 时,有 6 6 6 种方案: 1 × 1 × 25 1×1×25 1×1×25 1 × 5 × 5 1×5×5 1×5×5 ⋯ \cdots ;

  当 n = p 2 n =p^{2^{}} n=p2 时,有 6 6 6 种方案: 1 × 1 × p 2 1×1×p^{2} 1×1×p2 1 × p × p 1×p×p 1×p×p ⋯ \cdots ;

  其中 p p p 为质数。

  其实上例解法当中,我们就能发现,组合的个数与其具体的值无关,它只与质因数指数挂钩。

   2021041820210418 = 2 × 3 3 × 17 × 131 × 2857 × 5882353 2021041820210418 = 2 × 3^3 × 17 × 131 × 2857 × 5882353 2021041820210418=2×33×17×131×2857×5882353

  如果我们找最小的几个质数来代替它们,得到的新数字 2 3 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 120120 2^3 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 120120 23×3×5×7×11×13=120120 2021041820210418 2021041820210418 2021041820210418 在这个命题下等价。

  而 120120 120120 120120 的大小就足够我们真暴搜把它的全部因数组合找到了。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    long N = 2021041820210418L;

    void run() {
     
        List<Integer> exps = new ArrayList();
        for (int k = 2; k <= N; k++)
            if (N % k == 0) {
     
                int e = 0;
                while (N % k == 0) {
     
                    N /= k;
                    e++;
                }
                exps.add(e);
            }
        exps.sort((a, b) -> (b - a));
        int n = 1, p = 2, ans = 0;
        for (int exp : exps) {
     
            for (int i = 2; i * i <= p; i++)
                if (p % i == 0) {
     
                    i = 1;
                    p++;
                }
            while (exp-- > 0) n *= p;
            p++;
        }
        for (int a = 1; a <= n; a++)
            if (n % a == 0)
                for (int b = 1; b <= n; b++)
                    if (n / a % b == 0) ans++;
        System.out.println(ans);
    }
}

#E 路径

本题总分:15 分


问题描述

  小蓝学习了最短路径之后特别高兴,他定义了一个特别的图,希望找到图中的最短路径。
  小蓝的图由 2021 2021 2021 个结点组成,依次编号 1 1 1 2021 2021 2021。对于两个不同的结点 a , b a, b a,b,如果 a a a b b b 的差的绝对值大于 21 21 21,则两个结点之间没有边相连;如果 a a a b b b 的差的绝对值小于等于 21 21 21,则两个点之间有一条长度为 a a a b b b 的最小公倍数的无向边相连。
  例如:结点 1 1 1 和结点 23 23 23 之间没有边相连;结点 3 3 3 和结点 24 24 24 之间有一条无向边,长度为 24 24 24;结点 15 15 15 和结点 25 25 25 之间有一条无向边,长度为 75 75 75
  请计算,结点 1 1 1 和结点 2021 2021 2021 之间的最短路径长度是多少。
  提示:建议使用计算机编程解决问题。


答案提交

  这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。


10266837


  题目已经说的够清楚了,

  建一个有 2021 2021 2021 个顶点 21 × 2000 + 21 ( 21 + 1 ) 2 21 × 2000 + \cfrac{21(21 + 1)}{2} 21×2000+221(21+1) 条边的无向图,跑图上的算法就完事了。

  还有的细节就是整形是否会溢出,我们取 ( 1 , 2021 ] (1,2021] (1,2021] 中最大的质数 2017 2017 2017 202 1 2 2021^2 20212 相乘,得到的结果还是有点夸张的,虽然经过测试,可能的线路权值合至多不会超过 2 31 − 1 2^{31} - 1 2311,但毕竟是面向竞赛,考虑甄别的时间成本,直接使用长整形更为划算。


搜索


深度优先搜索


   2021 2021 2021 个顶点,绝大多数顶点都连有 2 × 21 2 × 21 2×21 条边,

  别深搜了,一搜就是

  compilaition completed successfully in 500ms(4 hour ago)

  就,电脑跟选手对着坐牢。


记忆化搜索


  深度优先搜索,在搜索最优结果时,通常需要完整的枚举全部可能的问题状态。

  但在这个问题状态的集合中,所有可选方案的 “后缀” 都是相同,也就是所有可选的分支,它们都是以同一个节点结尾。

  如果我们将已经搜索到的节点到目标节点间的最短路径保存下来,在再次搜索到这个 “后缀” 的分支时直接返回。

  那么问题就可能在一个较短的时间内解决。

  这也是所谓的记忆化搜索。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;

    int[] weight = new int[N + 1];

    List<Edge>[] graph = new List[N + 1];

    boolean[] visited = new boolean[N + 1];

    void run() {
     
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            graph[i] = new ArrayList();
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
     
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        visited[1] = true;
        System.out.println(dfs(1));
    }

    int dfs(int v) {
     
        if (v == N) return 0;
        if (weight[v] != 0) return weight[v];
        int min = 0x7FFFFFFF;
        for (Edge edge : graph[v]) {
     
            if (visited[edge.w]) continue;
            visited[edge.w] = true;
            min = min(min, dfs(edge.w) + edge.weight);
            visited[edge.w] = false;
        }
        return weight[v] = min;
    }

    int min(int a, int b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {
     

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
     
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }
}

枝剪广搜


  其实朴素的去搜索,不论深搜还是广搜,在竞赛里都是很冒进的行为,

  影响这两个算法执行效率的因素太多。

  当然要是没有其他的思路,也只能死马当活马医了。

  幸运的是,只需简单的枝剪,就能在很短的时间计算出结果

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;
    
    void run() {
     
        List<Edge>[] graph = new List[N + 1];
        long[] visited = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            graph[i] = new ArrayList();
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
     
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue<Vertex> queue = new PriorityQueue();
        Arrays.fill(visited, Long.MAX_VALUE);
        queue.offer(new Vertex(1, 0));
        Vertex V = null;
        while (queue.size() > 0) {
     
            V = queue.poll();
            if (V.v == N) break;
            if (V.weight >= visited[V.v]) continue;
            visited[V.v] = V.weight;
            for (Edge edge : graph[V.v])
                queue.offer(new Vertex(edge.w, edge.weight + V.weight));
        }
        System.out.println(V.weight);
    }

    int min(int a, int b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {
     

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
     
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable<Vertex> {
     

        int v;
        long weight;

        Vertex(int v, long weight) {
     
            this.weight = weight;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) {
      return Long.compare(this.weight, V.weight); }
    }
}

双向搜索


  很容易就能发现,越是编号大的节点,连接着它的边的权重可能越大。

  也就是在最短路径的这条分支中,越是靠近目标节点,就越可能进入无效的分支。

  通常,在这个数据规模下,不带策略的去广搜是致命的。

  一种常见的优化方法是从源点和终点双向开始搜索,当两条分支相遇时,即视为找到了最短路径。

  由于这种问题可选择的解法有很多,这里便不做展开。

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
     
        List<Edge>[] graph = new List[N + 1];
        long[] visited0 = new long[N + 1];
        long[] visited1 = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
     
            graph[i] = new ArrayList();
            visited0[i] = visited1[i] = Long.MAX_VALUE;
        }
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
     
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue<Vertex> queue = new PriorityQueue();
        queue.offer(new Vertex(N, 0, false));
        queue.offer(new Vertex(1, 0));
        Vertex V = null;
        while (true) {
     
            V = queue.poll();
            if (V.fromHead) {
     
                if (visited1[V.v] != Long.MAX_VALUE) break;
                if (V.weight >= visited0[V.v]) continue;
                visited0[V.v] = V.weight;
            } else {
     
                if (visited0[V.v] != Long.MAX_VALUE) break;
                if (V.weight >= visited1[V.v]) continue;
                visited1[V.v] = V.weight;
            }
            for (Edge edge : graph[V.v])
                queue.add(new Vertex(edge.w, edge.weight + V.weight, V.fromHead));
        }
        System.out.println(V.weight + (V.fromHead ? visited1[V.v] : visited0[V.v]));
    }

    int min(int a, int b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {
     

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
     
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable<Vertex> {
     

        int v;
        long weight;
        boolean fromHead;

        Vertex(int v, long weight) {
      this(v, weight, true); }

        Vertex(int v, long weight, boolean fromHead) {
     
            this.fromHead = fromHead;
            this.weight = weight;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) {
      return Long.compare(this.weight, V.weight); }
    }
}

单源最短路径


Dijkstra


  题目给出的图显然是个边加权,权重非负的无向图,跑遍 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 就完事了。

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
     
        boolean[] marked = new boolean[N + 1];
        List<Edge>[] graph = new List[N + 1];
        long[] distTo = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
     
            graph[i] = new ArrayList();
            distTo[i] = Long.MAX_VALUE;
        }
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
     
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue<Vertex> queue = new PriorityQueue();
        queue.offer(new Vertex(1, distTo[1] = 0));
        while (queue.size() > 0) {
     
            Vertex V = queue.poll();
            if (marked[V.v])
                    continue;
            marked[V.v] = true;
            for (Edge edge : graph[V.v])
                if (distTo[edge.w] > distTo[V.v] + edge.weight)
                    queue.offer(new Vertex(edge.w, distTo[edge.w] = distTo[V.v] + edge.weight));
        }
        System.out.println(distTo[N]);
    }

    int min(int a, int b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {
     

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
     
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable<Vertex> {
     

        int v;
        long dist;

        Vertex(int v, long dist) {
     
            this.dist = dist;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) {
      return Long.compare(this.dist, V.dist); }
    }
}

Floyd


  如果是一道最短路径的结果题。

  竞赛时限内能运行完 O ( n 3 ) O(n^{3}) O(n3) 的程序。

  那其实无脑套 F l o y d Floyd Floyd 就行。

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
     
        long[][] floyd = new long[N + 1][N + 1];
        for (int v = 1; v < N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(N, v + 21); w++)
                floyd[v][w] = floyd[w][v] = lcm(v, w);
        for (int k = 1; k <= N; k++)
            for (int v = 1; v <= N; v++)
                if (floyd[v][k] == 0) continue;
                else for (int w = 1; w <= N; w++)
                    if (floyd[k][w] == 0) continue;
                    else if (floyd[v][w] == 0 || floyd[v][k] + floyd[k][w] < floyd[v][w])
                        floyd[v][w] = floyd[v][k] + floyd[k][w];
        System.out.println(floyd[1][N]);
    }

    long min(int a, int b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
}

  半分钟就出来了,还行。


A*


  隐隐觉得能找到一些有启发性的性质。

  推了一下午狗屁没推出来,就当在这开个坑把。

在这里插入代码片

动态规划


  受不同的图性质影响,通常最短路径问题难以在线性时间内用动态规划解决。

  但这里给定无向图,

  我们将最短路径上的节点按升序排列,对于任意 v v v w w w 1 < v < w < n 1 < v < w < n 1<v<w<n 只存在以下两种情况:

第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第3张图片
  但只有序号的绝对差小于等于 21 21 21 时,两个节点之间才存在边,即二图情况的前提条件是 1 < v < w ≤ 22 1 < v < w \leq 22 1<v<w22,将其推广至 1 ≤ x < v < w < y ≤ n 1 \leq x < v < w < y \leq n 1x<v<w<yn 的情况,

  显然,从源点到任意点 V V V 的最短路径只会从 [ V − 21 , V + 21 ] [V -21,V+21] [V21,V+21] 中产生,我们先顺序的求出每个 W = V + 21 W = V + 21 W=V+21 较优路径,再用每个 W W W [ W − 21 , W ) [W - 21, W) [W21,W) 间的节点进行松弛,松弛完毕时 ( 1 , V ] (1,V] (1,V] 间的路径已是最优。

  综上有状态转移方程:

   d p ( i ) = min ⁡ { d p ( j ) + l c m ( i , j ) } dp(i) = \min\{dp(j) + lcm(i, j)\} dp(i)=min{ dp(j)+lcm(i,j)} i > j ≥ i − 21 i > j \ge i -21 i>ji21

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
     
        long[] dp = new long[N + 1];
        for (int w = 2; w <= N; w++) {
     
            dp[w] = Long.MAX_VALUE;
            for (int v = w - 1; v > 0 && v >= w - 21; v--)
                dp[w] = min(dp[w], dp[v] + lcm(v, w));
        }
        System.out.println(dp[N]);
    }

    long min(long a, long b) {
      return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
}

#F 时间显示

时间限制: 1.0 1.0 1.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分: 15 15 15


问题描述

  小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。在服务器上,朋友已经获取了当前的时间,用一个整数表示,值为从 1970 1970 1970 1 1 1 月 1 日 00 : 00 : 00 00:00:00 00:00:00 到当前时刻经过的毫秒数。
  现在,小蓝要在客户端显示出这个时间。小蓝不用显示出年月日,只需显示出时分秒即可,毫秒也不用显示,直接舍去即可。
  给定一个用整数表示的时间,请将这个时间对应的时分秒输出。


输入格式

  输入一行包含一个整数,表示时间。


输出格式

  输出时分秒表示的当前时间,格式形如 H H HH HH: M M MM MM: S S SS SS,其中 H H HH HH 表示时,值为 0 0 0 23 23 23 M M MM MM 表示分,值为 0 0 0 59 59 59 S S SS SS 表示秒,值为 0 0 0 59 59 59。时、分、秒不足两位时补前导 0 0 0


测试样例1

Input:
46800999

Output:
13:00:00

测试样例2

Input:
1618708103123

Output:
01:08:23

评测用例规模与约定

  对于所有评测用例,给定的时间为不超过 1 0 18 10^{18} 1018 的正整数。


Java Win


import java.util.Scanner;
import java.time.LocalTime;
import java.time.format.DateTimeFormatter;

public class Main {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Main().run(); }

    void run() {
     
        System.out.println(
            LocalTime.MIDNIGHT.
            plusSeconds(
            	new Scanner(System.in).nextLong() / 1000).
            format(DateTimeFormatter.ISO_LOCAL_TIME)
        );
    }
}

不依赖 API 的实现


import java.util.Scanner;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Test().run(); }

    void run() {
     
        long t = new Scanner(System.in).nextLong();
        System.out.printf("%02d:%02d:%02d",
            t / 3600000 % 24, t / 60000 % 60, t / 1000 % 60);
    }
}

  送分。


#G 最少砝码

时间限制: 1.0 1.0 1.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分: 20 20 20


问题描述

  你有一架天平。现在你要设计一套砝码,使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 N N N 的正整数重量。
  那么这套砝码最少需要包含多少个砝码?
  注意砝码可以放在天平两边。


输入格式

  输入包含一个正整数 N N N


输出格式

  输出一个整数代表答案。


测试样例1

Input:
7

Output:
3

Explanation:
3 个砝码重量是 1、4、6,可以称出 1 至 7 的所有重量。
1 = 1;
2 = 6 − 4 (天平一边放 6,另一边放 4);
3 = 4 − 1;
4 = 4;
5 = 6 − 1;
6 = 6;
7 = 1 + 6;
少于 3 个砝码不可能称出 1 至 7 的所有重量。

评测用例规模与约定

  对于所有评测用例, 1 ≤ N ≤ 1000000000 1 ≤ N ≤ 1000000000 1N1000000000


变种三进制


  不知道怎么取标题,也算是个规律题,

  这不是纯纯的恶心人吗。


  一个集合中包含 n n n 个数,任取若干数可以加减出任意小于等于 N N N 的正整数。

  首先要考虑怎么去满足题目要求的性质,

  设第 i i i 个砝码的重量为 w i w_{i} wi,原集合 A N = { w 1 , w 2 , ⋯   , w n } A_{N} = \{w_{1},w_{2},\cdots,w_{n}\} AN={ w1,w2,,wn}

  要满足题意首先要有 s u m ( A ) ≥ N sum(A) \ge N sum(A)N

  设我们知道了 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{\lfloor N/3 \rfloor} AN/3 的方案,那么我们就能在这个方案里加入一个 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2\lfloor N/3 \rfloor + 1 2N/3+1,就能用 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2\lfloor N/3 \rfloor + 1 2N/3+1 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{\lfloor N/3 \rfloor} AN/3 中个若干元素做差表示出 ( ⌊ N / 3 ⌋ , 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 ) (\lfloor N/3 \rfloor, 2\lfloor N/3 \rfloor + 1) (N/3,2N/3+1),对若干元素求和表示出 ( 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 , N ] (2\lfloor N/3 \rfloor + 1, N] (2N/3+1,N],并入 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{\lfloor N/3 \rfloor} AN/3 本身能表示的范围,即能表示出任意小于等于 N N N 的正整数。

  如果 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{\lfloor N/3 \rfloor} AN/3 本身是最优的,那么往里面加入 K = 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 K = 2\lfloor N/3 \rfloor + 1 K=2N/3+1 A N A_N AN 也一定是最优的,因为要使得 K + s u m ( A ⌊ N / 3 ⌋ ) ≥ N K + sum(A_{\lfloor N/3 \rfloor}) \ge N K+sum(AN/3)N K K K 必须大于等于 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2\lfloor N/3 \rfloor + 1 2N/3+1,而当 K > 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 K > 2\lfloor N/3 \rfloor + 1 K>2N/3+1 时,就无法表示出 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 \lfloor N/3 \rfloor + 1 N/3+1

  当然这一切还有个前提条件,那就是 s u m ( A ⌊ N / 3 ⌋ ) = ⌊ N / 3 ⌋ sum(A_{\lfloor N/3 \rfloor}) = \lfloor N/3 \rfloor sum(AN/3)=N/3。’

  不过到这里已经足够启发我们去顺推了,

  因为这个问题的边界是显然的,

  当 N = 1 N = 1 N=1 时, A 1 = { 1 } A_{1} = \{1\} A1={ 1}

  我们往 A 1 A_{1} A1 中加入 2 × s u m ( A 1 ) + 1 2 × sum(A_{1}) + 1 2×sum(A1)+1,得到 A 4 A_{4} A4,即

  当 N = 4 N = 4 N=4 时, A 4 = { 1 , 3 } A_{4} = \{1,3\} A4={ 1,3}

  当 N = 13 N = 13 N=13 时, A 13 = { 1 , 3 , 9 } A_{13} = \{1,3,9\} A13={ 1,3,9}

   ⋯ ⋯ \cdots \cdots

  当然还存在 N N N 不在我们找到的最优规律中。

  我们设 N = 5 N = 5 N=5

  因为 A 4 = { 1 , 3 } A_{4} = \{1,3\} A4={ 1,3} 的最优性, 2 2 2 个元素至多组成任意小于等于 4 4 4 的正整数,

  因为 A 13 = { 1 , 3 , 9 } A_{13} = \{1,3,9\} A13={ 1,3,9} 的最优性, 3 3 3 个元素可以表示任意小于等于 13 13 13 的正整数。

  即对 N = 5 N = 5 N=5 给出的答案,必须大于 2 2 2 小于等于 3 3 3

  对于给出任意 N N N 我们都可以按照这个性质求出答案。

  同时在三进制下来看这个规律:

   { N } = { ( 1 ) 3 , ( 11 ) 3 , ( 11 ) 3 , ⋯   } \{N\} = \{(1)_{3},(11)_{3},(11)_{3},\cdots\} { N}={ (1)3,(11)3,(11)3,}

  可以二分,但没有必要。

import java.util.Scanner;

public class Main {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Main().run(); }

    void run() {
     
        long N = new Scanner(System.in).nextLong(), ans = 1;
        for (long pow3 = 1; pow3 < N; pow3 = pow3 * 3 + 1, ans++);
        System.out.println(ans);
    }
}

  写的稀烂,主要这题目出的就恶心人。


#H 杨辉三角形

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分: 20 20 20


  下面的图形是著名的杨辉三角形:
  如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列,可以得到如下数列:

第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第4张图片
   1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 4 , 6 , 4 , 1 , ⋯ 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, \cdots 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,
  给定一个正整数 N N N,请你输出数列中第一次出现 N N N 是在第几个数?


输入格式

  输入一个整数 N N N


输出格式

  输出一个整数代表答案。


测试样例1

Input:
6

Output:
13

评测用例规模与约定

  对于 20 20 20% 的评测用例, 1 ≤ N ≤ 10 1 ≤ N ≤ 10 1N10
  对于所有评测用例, 1 ≤ N ≤ 1000000000 1 ≤ N ≤ 1000000000 1N1000000000


  图片高清重置


类比单调数列


  杨辉三角最外层全部是 1 1 1

  第二层则是自然数序列。
第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第5张图片
  因为杨辉三角是左右对称的,因此我们可以忽略右边(左边的数字总是比右边先出现),并将数字按层分成若干序列。
第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)_第6张图片
  由于序列都是从上置下单调递增的,我们可以在每一个这种序列上,二分查找 N N N 的位置,特别的, N = 1 N = 1 N=1 时直接输出 1 1 1

  此外,杨辉三角第 n n n 行 m 列 列

   = C n − 1 m − 1 = ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) ! ( n − m ) ! =C_{n-1}^{m-1} = \cfrac{(n-1)!}{(m-1)!(n - m)!} =Cn1m1=(m1)!(nm)!(n1)!

  这个数字增长的非常快 C 32 16 = 1166803110 > 1 e 9 C_{32}^{16} = 1166803110 > 1e9 C3216=1166803110>1e9

  也就至多在 14 14 14 条(除去最外两层)这样的序列中查找 N N N 的位置,因为序列的单调性不允许 N N N 的出现。

import java.util.Scanner;

public class Main {
     

    public static void main(String[] args) {
      new Main().run(); }

    int N;

    void run() {
     
        N = new Scanner(System.in).nextInt();
        if (N == 1) System.out.println(1);
        else {
     
            long ans = (N + 1L) * N / 2 + 2;
            for (int m = 2; m < 16; m++) {
     
                int start = m * 2, end = N;
                while (start <= end) {
     
                    int mid = start + end >> 1;
                    if (C(mid, m) == N) {
     
                        ans = min(ans, (mid + 1L) * mid / 2 + m + 1);
                        break;
                    } if (C(mid, m) > N) end = mid - 1;
                    else start = mid + 1;
                }
            }
            System.out.println(ans);
        }
    }

    long min(long a, long b) {
      return a < b ? a : b; }

    long C(int n, int m) {
     
        long num = 1;
        for (int nm = 1; nm <= m; n--, nm++)
            if ((num = num * n / nm) > N) return num;
        return num;
    }
}

#I 双向排序

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分: 25 25 25


问题描述

  给定序列 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) = ( 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) (a_{1}, a_{2}, · · · , a_{n}) = (1, 2, · · · , n) (a1,a2,,an)=(1,2,,n),即 a i = i a_{i} = i ai=i
  小蓝将对这个序列进行 m m m 次操作,每次可能是将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_{1}, a_{2}, · · · , a_{q_{i}} a1,a2,,aqi 降序排列,或者将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_{i}}, a_{q_{i+1}}, · · · , a_{n} aqi,aqi+1,,an 升序排列。
  请求出操作完成后的序列。


输入格式

  输入的第一行包含两个整数 n , m n, m n,m,分别表示序列的长度和操作次数。
  接下来 m m m 行描述对序列的操作,其中第 i i i 行包含两个整数 p i , q i p_{i}, q_{i} pi,qi 表示操作类型和参数。当 p i = 0 p_{i} = 0 pi=0 时,表示将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_{1}, a_{2}, · · · , a_{q_{i}} a1,a2,,aqi 降序排列;当 p i = 1 p_{i} = 1 pi=1 时,表示将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_{i}}, a_{q_{i+1}}, · · · , a_{n} aqi,aqi+1,,an 升序排列。


输出格式

  输出一行,包含 n n n 个整数,相邻的整数之间使用一个空格分隔,表示操作完成后的序列。


测试样例1

Input:
3 3
0 3
1 2
0 2

Output:
3 1 2

Explanation:
原数列为 (1, 2, 3)。
第 1 步后为 (3, 2, 1)。
第 2 步后为 (3, 1, 2)。
第 3 步后为 (3, 1, 2)。与第 2 步操作后相同,因为前两个数已经是降序了。

评测用例规模与约定

  对于 30 30 30% 的评测用例, n , m ≤ 1000 n, m ≤ 1000 n,m1000
  对于 60 60 60% 的评测用例, n , m ≤ 5000 n, m ≤ 5000 n,m5000
  对于所有评测用例, 1 ≤ n , m ≤ 100000 1 ≤ n, m ≤ 100000 1n,m100000 0 ≤ p i ≤ 1 0 ≤ p_{i} ≤ 1 0pi1 1 ≤ q i ≤ n 1 ≤ q_{i} ≤ n 1qin


待更


#J 括号序列

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分: 25 25 25


问题描述

  给定一个括号序列,要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法,当添加完成后,会产生不同的添加结果,请问有多少种本质不同的添加结果。
  两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号,而另一个是右括号。
  例如,对于括号序列 (((),只需要添加两个括号就能让其合法,有以下几种不同的添加结果:()()()、()(())、(())()、(()()) 和 ((()))。


输入格式

  输入一行包含一个字符串 s s s,表示给定的括号序列,序列中只有左括号和右括号。


输出格式

  输出一个整数表示答案,答案可能很大,请输出答案除以 1000000007 1000000007 1000000007 (即 1 0 9 + 7 10^{9} + 7 109+7) 的余数。


测试样例1

Input:
((()

Output:
5

评测用例规模与约定

  对于 40 40 40% 的评测用例, ∣ s ∣ ≤ 200 |s| ≤ 200 s200
  对于所有评测用例, 1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 5000 1 ≤ |s| ≤ 5000 1s5000


待更

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