LDA简要介绍

前情提要

这里只列出与之有关的数学公式，并不做具体的推导与其背后的数学故事。如果感兴趣的朋友可以看看LDA数学八卦，里面有完整的故事背景和数学证明。

gamma函数：
其数学形式为：

如果对其做分部积分，我们有如下性质：

易知：

Dirichlet分布：
其数学形式如下：

对于给定的$p$和$N$，定义多项分布为：

而上述这两个分布是共轭关系。

Dirichlet 分布的一个性质：

上面的内容不懂也没有关系，只需要在用到的时候过来查阅便好，这里列出只是方便查阅。

吉布斯采样：
这部分内容与LDA的训练过程有关。我在博客MCMC和Gibbs Sampling中对其进行了详细的介绍。不清楚的朋友可以看到训练过程后，再看这篇博客。

PLSA

说到LDA，不得不先介绍一下PLSA，PLSA的基本思想是，假设一篇文章有多个topic，每个topic生成语料库中词的概率不同。
因此不难看出，这是一个词袋模型，我们把生成的过程分为两个部分，一个是doc->topic,另一个是topic->word
假设我们有$K$个topic:

• 每个topic,对应一个生成word的概率分布，将其记为${\phi }_k$，其中k代表第k个topic
• 对于包含M篇文档的语料$C=(d_1,d_2,\cdots ,d_m)$，对其中的任一文档都有doc-topic的概率分布，记为${\theta }_m$

对文档$d_m$生成每个词的概率为：

所以整篇文档生成的概率为：

同样地，可以写出整个语料库的概率，并使用EM算法得到其局部最优。

LDA

可以看出，PLSA是频率学派的作品，贝叶斯学派对此持不同意见。在贝叶斯学派看来，随机变量应该属于某种先验分布，即$\phi$和$\theta$应该是要满足先验分布的。而我们知道，$\phi$和$\theta$本身是多项分布，那么由于狄利克雷与多项分布的共轭性，其先验分布自然选狄利克雷分布。其物理过程如下图所示：

因此，我们将这个过程拆分为两个物理过程理解，

第一步：
$\alpha \to {\theta }_m\to z_m$：

可以看出，整体是一个Dirichlet-Multinomial共轭结构。因此有：

如果有先验分布得到$p\leftarrow Dir(p|\alpha )$，且$p$满足多项式分布。那么如果使用该概率分布生成整个语料，我们有：

进一步地，由于共轭性，我们有${\theta }_m$满足后验分布：

由于M篇文档的所有topics相互独立，所以我们有m个相互独立的Dirichlet-Multinomial共轭结构：

第二步：
$\beta \to {\phi }_k\to w_k$

同样的，我们有：

其中，${\phi }_k$的后验概率为：

而语料中的K个topic生成word同样是相互独立的，因此我们有K个相互独立的Dirichlet-Multinomial共轭结构，从而可以得到整个语料库中的所有词生成概率：

那么，结合（26）和（27），我们自然有：

LDA的训练

训练目标是参数$\phi$和$\theta$，而$\alpha ，\beta$是超参数。

那么我们怎么去估计这两个参数呢？我们知道，word是可以观测到的已知数据，而topic是隐含的变量。如果我们有$p(w,z)$的联合概率，那么根据式子（28）我们自然可以估计参数$\phi$和$\theta$。由于topic是隐含变量，要估计联合概率，自然希望通过某种方式采样topics,最终使得这些topics能够收敛，而之前说过，高维的采样考虑使用吉布斯采样。因此这里使用吉布斯采样对topic进行采样。假设这里我们已经清楚了吉布斯采样在LDA中的计算细节，那么LDA Training的过程是：

吉布斯采样在LDA中的计算细节：
由于联合概率的分母计算量较大，因此我们最终需要采样的分布是$p(z|w)$。那么接下来：

这个过程仅仅涉及到第m篇文章和第k个topic,因此与其他的M+K-2个Dirichlet-Multinomial共轭结构相互独立。其本身涉及的共轭结构：

因此我们有：

根据狄利克雷分布的性质：

最终我们可以得到：

参考

LDA数学八卦