函数列指的是 { S n ( x ) } \{S_n(x)\} { Sn(x)} 这样的序列,等价于数列,而函数项级数指的是将函数列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} { un(x)}进行累加得到的 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) ,等价于数项级数。虽然我们一般都有等式 S n ( x ) = ∑ n u k ( x ) S_n(x)=\sum^n u_k(x) Sn(x)=∑nuk(x),讨论收敛性,或者是收敛后的分析性质时,描述的东西本质上是一样的,但是在处理方法上大有区别。比如说对于函数列的一致收敛,我们一般用 β \beta β 上界判别法,或者用柯西收敛原理。对于函数项级数的一致收敛,我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定,如果判定不了,还可以对函数项级数进行求和转化成函数列(这点尤为重要)。所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
应该意识到最重要的事情:逐点收敛是数的收敛,一致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调,收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数,也就是说描述的是逐点收敛,而不是一致收敛。再详细的说,收敛就是逐点收敛,千万不能产生概念辨析上的困难。要想学好这一章,最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中,自变量x不再是一个自变量,而是数项级数中一个参量,就像 1 n p \frac{1}{n^p} np1 中的p一样。对于逐点收敛的处理,其实就是对数项级数的处理,方法也是沿用数项级数的处理方法。在逐项收敛中,有一个重要的概念就是和函数,对应的还有和函数的收敛域。注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点,就是在一开始就给出了自变量x的值,比如求
S n ( x ) = n α x e − n x S_n(x)=n^\alpha x e^{-nx} Sn(x)=nαxe−nx
若要求 S ( x ) S(x) S(x) ,不能令 x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1 ,因为 x x x 在n之前取值,所以不能写作n的函数。或者连续,也要在取定 x = x 0 x=x_0 x=x0 后讨论函数的值。也就是说,逐点收敛确立的 N N N 是 N ( x 0 ) N(x_0) N(x0) ,而一致收敛确定的是 N N N 是一个与 x 0 x_0 x0 无关的值(即x是在N取定后取的)。就好像逐点有界,是说给定 x 0 x_0 x0 后有 f n ( x 0 ) < = M ( x 0 ) f_n(x_0)<=M(x_0) fn(x0)<=M(x0) ,而一致有界就是先给出 M M M,然后有 f n ( x ) < = M f_n(x)<=M fn(x)<=M 。一致比逐点的条件更强,是整体的性质。
不仅是逐点收敛,连续、可导都是逐点性质。
注意,我们在讨论函数项级数的收敛域时,这里的收敛指的是绝对收敛,用的方法是根值判别法或者比值判别法。好像没有讨论过条件收敛。
最主要的方法是 β \beta β 上界判别法,它说的是当和函数与函数序列的差值的上界是一个无穷小量时,则函数列一致收敛。注意这里的差值不是一个数,而是一个以x为自变量的函数,一个函数是一个无穷小量,这说明他的最大值是一个无穷小量,所以在解题的时候一般求函数的极大值,然后证明他趋于零,如果条件松的话,也可以进行放缩,获得的则不是上确界,而只是上界。最终的结果是诞生一个不含x,只含n的式子。
相反,如果证明函数列不一致收敛,只需要证明在收敛域里存在一个x的取值,使得此时的函数值不趋于零即可,这里一般利用x把n一起消掉,剩下的是一个不为0的常数为最佳。
β \beta β 上界判别法的预处理是求出和函数,要注意,和函数是逐点定义的,所以x是不能表示为n的函数的,因为x在n前被定义,x就是个参数,所以和函数很好求。
还有一种办法是柯西收敛原理,但是见得较少,就不在此赘述了。
写在最前面,函数项级数有一个最容易被忽略的方法就是直接对他求和,转换成函数列,然后用 β \beta β 上界判别法,有些已经裂好项了,或者显然可以求和(比如自变量x呈现等比级数的形式),就没必要在函数项级数这里浪费时间了。
函数项级数的判别法有优级数判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法,这里就不一一赘述了。但是有一点,就是Dirichlet判别法、Abel判别法只能对待写成乘积形式的函数项级数,所以比如 ∑ ( 1 n + x ) n \sum(\frac{1}{n}+x)^n ∑(n1+x)n 这种结构,就没有办法用这两个判别法了,那么只能用优级数了,但是优级数必须要进行放缩,有的时候会与内闭一致收敛联合考察。
对于判断不一致收敛的方法,函数项级数的方法要比函数列多很多,从这个角度看,在判断不收敛时,也可以将函数列转换成函数项级数,虽然没有见过,但不失为一种思路。
判断一致收敛有两个必要条件,一个是函数项必须趋于零(注意这里用的还是 β \beta β 上界判别法,只不过这里判别的就是 u n ( x ) u_n(x) un(x) ,而不再是 S n ( x ) S_n(x) Sn(x) ),另一个是开区间上连续函数项级数的一致收敛,必须保证区间端点也必须收敛,利用这两个性质,当这两条没有被满足时,那么就一定是不一致收敛的。
另外,柯西收敛原理在判断不一致收敛时也有较好的应用。
条件的强弱和互推,成了这章的主旋律。首先要明确,分析性质不像上一章的收敛性质,这一章的结论对于函数项级数和函数列基本上呈现对偶的特征,没有哪个定理是只有函数项级数有而函数列没有的。其次,要时刻谨记逐点和一致的差异,一致是强条件,有些结论比如连续是逐点的,所以推导起来会很容易,但是如果结论也是一致的,那么推导起来就较难,如果不能区分两者,会觉得推导时而严谨,时而宽松,是极其有害的。最后,要关注条件的互推,这一章基本上是没有充要条件的,所以那些自以为是的想法可以放一放了。
内闭一致收敛很好的体现了我在总论中陈述的第二点,即一致的条件过于强,有的时候我们达不到这样强的条件,但是因为要证明的性质是逐点的,所以我们也不需要那么强的条件,我们可以得到一个相较于闭区间一致收敛较弱的条件,即开区间内闭一致收敛,就可以完成对闭区间逐点性质(一般是连续)成立的推导的。
内闭一致收敛描述的是这样一种现象:函数列在闭区间上不一致收敛,但是在开区间上一致收敛,那么对应的闭区间逐点性质可以得到满足。
在这里还是要进行一个区分,内闭一致收敛是对于函数列而言的,对于函数项级数来说,一般是没有内闭一致收敛概念的。这是因为函数项级数的一致收敛有性质:当 u n ( x ) u_n(x) un(x) 在 [a,b] 上连续且 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) 在(a,b) 上一致连续时,则 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) 在[a,b] 上一致连续,所以基本上用不到内闭一致收敛的性质。
对于经典的证明题目,我们有如下推导链条:
开区间一致收敛 → \rightarrow → 内闭一致收敛 → \rightarrow → 闭区间连续 → \rightarrow → 闭区间一致连续
当 S n ( x ) , u n ( x ) S_n(x),u_n(x) Sn(x),un(x) 连续且一致收敛的时候,则他们的和函数连续,可以被概括为:
lim x → x 0 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) = ∑ n = 1 ∞ lim x → x 0 u n ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow x_0}u_n(x) x→x0limn=1∑∞un(x)=n=1∑∞x→x0limun(x)
但是仍需要注意的是,当和函数连续的时候,并不能说明 S n ( x ) , ∑ u n ( x ) S_n(x),\sum u_n(x) Sn(x),∑un(x) 一致收敛,即只是充分条件,如果想要推出这个结论,需要补充条件,即Dini定理:
设 S n ( x ) S_n(x) Sn(x) 在闭区间上连续,且逐点收敛到 S ( x ) S(x) S(x),若对于任意给定的 x 0 x_0 x0 都有 S n ( x 0 ) S_n(x_0) Sn(x0) 单调,则 S n ( x ) S_n(x) Sn(x)一致收敛到 S ( x ) S(x) S(x)。
当 S n ( x ) , u n ( x ) S_n(x),u_n(x) Sn(x),un(x)闭区间连续且一致收敛的时候,则他们的和函数可积。
注意这个也是充分条件。
可导有三个条件,分别是:(1)导函数闭区间连续(2)导函数闭区间一致收敛(3)存在 x 0 x_0 x0 使得函数(注意这里不是导函数)收敛。
因为可导也是逐点性质,所以推导时大量使用内闭一致收敛。
注意即使可导的条件较强,这个定理依然是充分条件。
可以说前面的所有知识都是为了这一章进行铺垫的,我们的最终目的就是将一个不好分析的函数用一个幂级数去逼近,进而分析这个好分析的幂级数。那么就会产生如下三个问题:怎么能逼近?逼近就能代表吗?幂级数为什么好分析?分别对应(1)函数的幂级数展开(2)幂级数的收敛性质(3)幂级数的分析性质。我们前面分析的各种一般化的概念和性质,都是在为这个特例服务的。
收敛半径其实就是收敛域概念的一个延展,所以重中之重是意识到收敛半径的收敛是说的逐点收敛,而不是一致收敛,如果不把这个搞清楚,那么在概念的辨析上会存在很大的障碍。
求收敛半径的方法就是根值和比值两种方法,属于幂级数独有的方法,就是只判断x项前面的系数就可以了。但是如果不行的话,比如出现缺项的情况,那么幂级数的判别方法就不能使了,但是还是可以使用数项级数的判别方法的,就是带着x项进行判别。
幂级数的一致收敛性质由两条组成:
第一条:幂级数在收敛域内内闭一致收敛。用的是优级数判别法进行的证明。
第二条:Abel第二定理,当幂级数在 x = R x=R x=R 处逐点收敛时,则幂级数在 [0,R] 上一致收敛,若幂级数在 x = − R x=-R x=−R 处逐点收敛时,则幂级数在 [-R,0] 上一致收敛。用的是Abel判别法进行的证明。
PS:Abel定理是描述幂级数逐点收敛性质的定理,是收敛半径概念的基石。
设幂级数的收敛半径为R,则幂级数的和函数在(-R,R)连续,若还有幂级数在 x=R (或x=-R)处收敛,则和函数在 x=R (或x=-R)处左(右)连续。
幂级数在收敛域内任何一点都由0到这一点进行积分,积分后得到的幂级数的收敛域在端点处的收敛性可能会“变好”,从不收敛变为收敛,但不会变坏“变坏”。
幂级数在收敛域内任何一点都有任意阶导数,求导后的幂级数的收敛性可能会变坏,不会变好。
很容易想到,只要 f ( x ) f(x) f(x) 有任意阶导函数,就可以利用泰勒公式生成一个幂级数,我们称它为泰勒级数。但是问题在于,泰勒级数是否必在一个开区间上收敛?如果收敛的话,是否会收敛到 f ( x ) f(x) f(x) ?我们说这两件事都不是一定的,而是需要条件的。
有一个充要条件为
R n ( x ) = f ( x ) − ∑ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k Rn(x)=f(x)−k=0∑nk!f(k)(x0)(x−x0)k
lim n → ∞ β n = lim n → ∞ s u p { R n } = 0 \lim_{n\rightarrow\infty}\beta _n=\lim_{n\rightarrow\infty}sup\{R_n\}=0 n→∞limβn=n→∞limsup{ Rn}=0
由此,可以得到一个充分条件,即
∀ n , β n = s u p { f ( k ) ( x ) } < = M \forall n,\beta _n=sup\{ f^{(k)}(x) \}<=M ∀n,βn=sup{ f(k)(x)}<=M
书中是没有 β \beta β 的表述的,但我想说的是引入 β \beta β 可以强调这是一个函数,而不是一个数。
复杂的原因大部分是出在求导,一个分式或者一个乘式都是很难求导的。对于分式而言,如果能裂项,就一定要裂项,对于乘式而言,要应用柯西乘积(柯西乘积只要在两者都是绝对收敛的时候才可以成立,幂级数刚好有这个性质)。
大部分用来求数项级数的和,如果这个数项级数里面有阶乘, n ( n + 1 ) n(n+1) n(n+1) , 2 n 2^n 2n 这种结构,大概就是要用幂级数来求了。