计组中的组合数学

计组中的组合数学

一、反演定律

​ 如果将一个式子的与和或互换（注意不改变计算顺序，也就是与转换成或的时候需要加括号），1和0转换，文字相互转换，那么就可以得到这个公式的反，举个例子
$$F=\bar{A}\bar{B}+CD$$
​ 那么他的反演式，就是
$$\bar{F}=(A+B)(\bar{C}+\bar{D})$$
​ 我们注意到反演直接就给等号左侧取反了，这就是对的，也就是说，原来能够使 $F$ 得 1 的输入向量，现在能使 $\bar{F}$ 得 0 ，，原来能够使 $F$ 得 0 的输入向量，现在能使 $\bar{F}$ 得 1。可以说是一个很神奇的公式了，神奇到我之前都没有发现他的威力。

​ 那么为什么会有这种结果呢？可以粗浅的理解一下，如果把 $F$ 展开成一个极小项范式，这个范式按照上面的操作来一遍，就可以得到 $\bar{F}$ 的极大项范式，这个可以从真值表中直接得出，反之亦然。对于没有化成标准范式的式子，其实都是可以推广的。

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二、对偶定理

​ 这个其实就是不交换原变量和反变量，其他跟反演定律一致，举个例子
$$F=\bar{A}\bar{B}+CD$$
​ 他的对偶式就是
$$F^{\ast }=(\bar{A}+\bar{B})(C+D)$$
​ 但是 $F^{\ast }$ 和 $F$ 之间就没有这么明显的关系了，这是因为这个式子探究的不是函数间的关系，而是恒等式（等号两侧是平等的）之间的关系，正确的用法是
$$F=A(B+C)=AB+AC$$
​ 然后由对偶定理，我们可以得到另一组恒等式，有
$$F^{\ast }=A+BC=(A+B)(A+C)$$

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三、一个重要公式

$$AB+\bar{A}C+BCDEF...=AB+\bar{A}C$$

​ 如果有两项中的因子互为反变量 $A,\bar{A}$， 而且这两项中的其他因子 $B,C$ 在后面中的某一项中同时出现 $BCDEF… $​，那么这一项可以消去。​

​ 证明方式如下：
$$AB+\bar{A}C+BCDEF...=AB+\bar{A}C+(A+\bar{A})BCDEF...=AB+ABCDEF...+\bar{A}C+\bar{A}BCDEF...=AB+\bar{A}C$$

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四、公式化简和卡诺图

​ 公式化简的最基本的方法就是合并、补项和联立，其中以补项和联立最为反人类思维方式。但是这两种都可以很好用卡诺图解决。

​ 对于SR寄存器的状态转移公式，有如下式
$$Q^{n+1}=\bar{S}\bar{R}{Q}^n+S\bar{R}{\bar{Q}}^n+S\bar{R}{Q}^n$$

$$S\cdot R=0$$

​ 可列出卡诺图如下：

	00	01	11	10
0	0	0	x	1
1	1	0	x	1

​ 可以看出根据卡诺图很容易就可以写出表达式
$$Q^{n+1}=S+\bar{R}{Q}^n$$
​ 其中x是因为对于S，R均为1的情况，不会出现，所以是x。

​ 那么我们在看一遍正经的化简过程：
$$Q^{n+1}=\bar{S}\bar{R}{Q}^n+S\bar{R}{\bar{Q}}^n+S\bar{R}{Q}^n+SR(Q^n+{\bar{Q}}^n)+S\bar{R}{Q}^n=S+\bar{R}{Q}^n$$
​ 可以看到，增添的三项其中两项对应的是x，另一项是画圆圈的时候重叠的项，所以可以看出，补项和联立被处理的很好。